小学奥数7-7-1 容斥原理之重叠问题(一).专项练习及答案解析(精品).pdfVIP

7-7-1.容斥原理之重叠问题（一） 教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数， 不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个 数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A BABA B (其中符号“ ”读作 “并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的 意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下: 表示小圆部分， 表 A B 示大圆部分， 表示大圆与小圆的公共部分，记为： ，即阴影面积．图示如下: 表 C A B A 示小圆部分， 表示大圆部分， 表示大圆与小圆的公共部分，记为： ，即阴影面积． B C A B 1．先包含——AB 重叠部分A B计算了 次，多加了 次； 2 1 2．再排除——ABA B 把多加了 次的重叠部分A B减去． 1 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B 的并集A B 的元素的个数，可分以下两 步进行： 第一步：分别计算集合A、B 的元素个数，然后加起来，即先求AB (意思是把A、B 的一 切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去CA B (意思是“排除”了重复计算 的元素个数)． 二、三量重叠问题 类、 类与 类元素个数的总和 类元素的个数 类元素个数 类元素个数 A B C A B C  既是 类又是 类的元素个数 既是 类又是 类的元素个数 既是 类又是 类的元素 A B  B C  A C 个 数 同 时 是 类 、 类 、 类 的 元 素 个 数 ． 用 符 号 表 示 为 ：  A B C A B CABCA BB CA CA B C ．图示如下： 7-7-1容斥原理之重叠问题（一）.题库 教师版 page of 1 9 图中小圆表示 的元素的个数，中圆表示 的元素的个数， A B 大圆表示 的元素的个数． C 1．先包含：ABC 重