专题01 因动点产生的等腰三角形问题(解析版).docx

备战?2020?中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题?01?因动点产生的等腰三角形问题 【类型综述】 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点 来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中 的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。 在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结 合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生 的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 【方法揭秘】 我们先回顾两个画图问题： 1．已知线段?AB＝5?厘米，以线段?AB?为腰的等腰三角形?ABC?有多少个？顶点?C?的轨迹是什么？ 2．已知线段?AB＝6?厘米，以线段?AB?为底边的等腰三角形?ABC?有多少个？顶点?C?的轨迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点?C． 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外． 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC?是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB?三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC?的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A?的两边?AB?和?AC?可以用含?x?的式子表示出来，那么就用 几何法． ①如图?1，如果?AB＝AC，直接列方程；②如图?2，如果?BA＝BC，那么 1 2  AC???AB?cos??A?；③如图?3，如 果?CA＝CB，那么 1 2  AB???AC?cos??A?． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含?x?的式子表示出来，那么根据两点间的距 离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． 【例?1】抛物线??y???? x2???bx???c?与 【例?1】抛物线??y???? x2???bx???c?与?x?轴交于?A?-1,0），B（5,0）两点，顶点为C?，对称轴交?x?轴于点?D?， （ 【典例分析】 2 9 点?P?为抛物线对称轴?CD?上的一动点（点?P?不与?C?,?D?重合）．过点?C?作直线?PB?的垂线交?PB?于点?E?，交?x 轴于点?F?． ?1??求抛物线的解析式； ?2?当?VPCF?的面积为?5?时，求点?P?的坐标； ?3?eq?\o\ac(△,当)?PCF?为等腰三角形时，请直接写出点?P?的坐标． 思路点拨 A B?1??把?（-1,0），（5,0）代入函数, A B P?2?先求出点?C，设点?（2，m），然后得函数?PB?的表达式为：?y?????1?mx???5m??①，，根据?CE???PE?， P 3 3 ，求出直线??CE?的表达式为?y?? ，求出直线??CE?的表达式为?y???? x????2??? ??????②?，联立①②并解得： 3m3???????????????????????????????6?? 3 m m???????????????????????????????m?? ，求出??F???2? ，求出??F???2?? ,0???，利用?VPCF?的面积为?5?，求出?m?即可； 32m?????????2m??? 3 3????????????????? ?????? ?y?????（x???1）?x-5??????? x2???4?x???5????? x2??? x???? .2 2 2 ，?3?由点?F?的坐标得：?CP?2＝（2???m） ?????? ? y?????（x???1）?x-5??????? x2???4?x???5????? x2??? x???? . 2 2 2 ， 3 3 CP＝PF?，?CF＝PF?时的?m?即可. 满分解答 2 ??1??将抛物线化为交点式：?y?????2?x2???bx???c=???（x???h）x???k 2 ? 9 9 A B将?（-1,0），（5,0 A B 2 2 2 8 10 9 9 9 9 9 故抛物线解析式为??y=- 故抛物线解析式为??y=- x2?? x?? 9 9 9  . C 2?2?抛物线的对称轴为?x???1?，则点?（2 C 2 P设点?（2，m）， P 将点?P,?B?的坐标代入一次函数表达式：?y??