(完整版)数学竞赛中立体几何解题策略.docVIP

PAGE PAGE 数学竞赛中立体几何解题策略 桂林十八中 欧阳群壮 一、化归为平面问题 空间图形的主要元素往往可集中在某一特征平面 （截面） 上， 若能结合题目条件或结论的特征，构造或者确定一个数量关系比较集中的平面逐步将题目的条件及其由条件推得的结 论应用在该平面，并加以重点分析，从而将空间问题化归为平面问题去解决 . 例 1：设 d 是任意四面体相对棱之间距离的最小者， n 是该四面体高的最小者， 求证： 2d h . ( 第 24 届全苏数学竞赛 ) 【证明】：如图 1，为确定起见，不妨设四面体 A— BCD中过顶点 A 所引的高 AH h ， 棱 AB和 CD之间的距离为 d. 在平面 BCD 内，过 B 作直线 l // CD ，过 H 作 EF CD 于 F，交 l 于 E. 设 FG、EK 是 AEF 的高，易 知 l 面AEF ，所以 FG l ，又 FG AE ，故 FG是 F 到面 AEB的距离，又 CD // 面AEB ，所以 FG为异面 直线 CD与 AB间的距离 . 同理， EK等于四面体 A—BCD 过 顶 点 B 的 高 ， 由 已 知 EK AH ， 及AH EF EK AF 得 AF EF ， 而 h AH AE AE EF EF EF 2 d FG EF EF EF 即 2d h . 例 2：正四棱锥内接于半径为 R的球，且外切于半径为 r 的球，求证： R r (1985 年苏州市竞赛题 )  2 1. 【证明】：设 h 为棱锥的高， 2a 为底面边长，则 R是等腰 SBD的外接圆的半径（如图 2、3） R2 (h R)2 ( 2a)2 ， 2 a 2 h2 ∴ R ， 2h r 是等腰 SEF 的内切圆的半径（如图 4）， EF h r (SF SE EF ) 又 SF h2 a2 ， r 2ah ah ， 2 h 2 a 2 2a h2 a 2 a R 2a2 h2 ∴ h 2 a 2 a r 2h ah a 2 1 h 2 [( ) ][1 ( ) 1] h 2 a h 2 令 ( ) 1 a t (t 1) ， ，a 2 1 ， ∴ ( ) 2 h t 1 ∴ R ( 1 1 )(1 t) r t2 1 2 1 1 (t t 1 2 1 1) 1 2 1 2 1 2 例 3：在单位正方体 ABCD— A1B1C1D1 内， 作一个内切球 O，再在正方体的八个角上各作一个小球，使它们都 与球 O外切，并且分别与正方体的三个面相切，求小球的半径 . 【解】：⑴由对称性可知，八个小球均相等，正方体的对角面 ACC1A1 通过 5 个球心和 10个切点及正方体的棱和对角线，包含其主要元素，把这个对角面解剖出来（如图 5），即可化归为平面几何问题去解 . ⑵利用位似可知 A、O1、O、O2、C1 五点共线， MOA CC1A ，数量关系集中在直角 梯形 OMN1O中，设小球半径为 x，则 cos 1 MOA x OM O1 N ， OO1 即 2 1 ， 1 x 3 2 ∴ x 2 3 . 2 例 4：正三棱锥 P— ABC的底面边长为 1，高 PH 2 ，在这个棱锥的内切球上面堆一 个与它外切， 并且与棱锥各侧面都相切的球， 按照这种方法继续把球堆上去， 求这些球的体积之和 . 【解】：⑴过侧棱 PA及高 PH的截面通过球心的切点，包含正三棱锥的主要元素，把它解剖出来（如图 6），化归为平面几何问题去解 . ⑵设内切球 O、O、O、?的半径分别为 R、R 、R、?，由正三棱锥底面边心距 3 1 2 3 斜高 1 2 3 DH ， 6 PD PH 2 DH 2 7 3 ， 6 有 cos PDH cos PO1M DH 1 PD 7 R1 1 1 R1 ， 4 2 R1 7 在直角梯形 O1MNO中， cos PO1M O1M O2 N R1 R2 1 2 1R 3 R 1 3 2 1 O1O2 R1 R2 7 4 4 4 3 1 3 2 同理， R3 R2 ( ) ，? 4 4 4 ∴ V 4 1 3 3 3 3 3 6 ( ) [1 ( ) ( ) L ] 3 4 4 4 4 1 1 4 . 3 64 3 3 1 ( ) 4 111 【点评】：例 3 和例 4 这两个多球相切的问题， 都是把数量关系集中在其特征截面上， 化归为平面几何问题，最后在以两球心、两切点为顶点的直角梯形中得到解决 . 二、 巧用空间变量公式 空间度量公式包括各种体积公式、四面体的正弦定理、余弦定理、射影公式等等 . 若能灵活巧妙运用度量公式，常会发现空间几何量之间的数值关系，使问题获得简捷解 . 例 5： ABC 中， C