高考数学专题： 空间向量与立体几何.docx

高考数学专题：?空间向量与立体几何 1．(2014·?广东，5，易)已知向量?a＝(1，0，－1)，则下列向量中与?a?成?60°夹角 的是( ) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 1．B 设所选向量为?b，观察选项可知|b|＝?2，∵〈a，b〉＝60?， 1 ∴cos?〈a，b〉＝ a·?b???1 2×?2＝2，∴a·?b＝1.代入选项检验可知(1，－1，0)适合，故 不妨设?e1＝???，????3? 不妨设?e1＝???，????3 ?，e2＝(1，0，0)， ∴b＝???， ＝???－??x－y，????3 2??－?2?x，t?， 故|b|＝??? ?5?2 ?2???＋? ??2?? ???＋t2 1 2．(2015·?浙江，15，难)已知?e1，e2?是空间单位向量，e1·?e2＝2.若空间向量?b?满 5 足?b·e1＝2，b·e2＝2，且对于任意?x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0， y0∈R)，则?x0＝______，y0＝________，|b|＝________． 1 π 2．【解析】?∵e1·?e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝cos〈e1，e2〉＝2，∴〈e1，e2〉＝3. ?1 ? ?2 2?，0? b＝(m，n，t)． 1 3 则由题意知?b·?e1＝2m＋?2?n＝2， 5 b·?e2＝m＝2， 3 5 解得?n＝?2?，m＝2， ?5 3 ? ??2 2?，t?. ? ∵b－(xe1＋ye2) ?5 1 3 ? ?2 2 ? ?5 1 ?2 ??3 3??2 ?? ? ?∴|b－(xe1＋ye2)|2＝?2－2x－y??＋??2?－?2?x ?? ? ? 由题意，当?x＝x0＝1，y＝y0＝2?时， |b－(xe1＋ye2)|2?取到最小值?1. 此时?t2＝1， ??3?2 ??? ＝?8＝2?2. 【答案】 1 2 2?2 2 )3．(2016·?课标Ⅲ，19，12?分，中?如图，四棱锥P-ABCD?中， ) PA⊥底面?ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝ 4，M?为线段?AD?上一点，AM＝2MD，N?为?PC?的中点． (1)证明?MN∥平面?PAB； (2)求直线?AN?与平面?PMN?所成角的正弦值． 2 3．解：(1)证明：由已知得?AM＝3AD＝2. 1 如图，取?BP?的中点?T，连接?AT，TN，由?N?为?PC?中点知?TN∥BC，TN＝2BC＝ 2. 又?AD∥BC，故?TN?綊?AM，四边形?AMNT?为平行四边形，于是?MN∥AT. 因为?AT 平面?PAB，MN?平面?PAB，所以?MN∥平面?PAB. (2)如图，取?BC?的中点?E，连接?AE.由?AB＝AC?得?AE⊥BC，从而?AE⊥AD，且 AE＝?AB2－BE2＝ ?BC?2 ??2??AB2－???? ??2?? 以?A?为坐标原点，分别以AE，AD， 以?A?为坐标原点，分别以AE，AD，AP的方向为?x?轴，y?轴，z?轴正方向，建立 2，0)，N??? ，1，2?. PM＝(0，2，－4)，PN＝? ，1，－2?，AN＝??2?，1，2?. 如图所示的空间直角坐标系?A-xyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(?5， ??5 ? ??2 ? → → ??5 ? → ??5 ? ??2 ? ? ? 3 ??n·?PM＝0， ??n·?PM＝0， ??n·?PN＝0. 设?n＝(x，y，z)为平面?PMN?的法向量，则? → ?2y－4z＝0， 即??5 ??2?x＋y－2z＝0. 可取?n＝(0，2，1)． 于是|cos〈n， 于是|cos〈n，AN〉|＝ |n·?AN| 8???5 →?＝?25?. → |n||AN| 8?5 所以直线?AN?与平面?AMN?所成角的正弦值为?25?. 4．(2016·?北京，17，14?分，中)如图，在四棱锥?P-ABCD?中，平面?PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝?5. (1)求证：PD⊥平面?PAB； (2)求直线?PB?与平面?PCD?所成角的正弦值； (3)在棱?PA?上是否存在点?M，使得?BM∥平面?PCD？若存在， AM 求?AP?的值；若不存在，说明理由． 4．解：(1)证明：因为平面?PAD⊥平面?ABCD，AB⊥AD， 所以?AB⊥平面?PAD. 所以?AB⊥PD. 又因为?PA⊥PD， 所以?PD⊥平面?PAB. (2)如图，取?AD?的中点?O，连接?PO，CO. 因为?PA＝PD， 所以?PO⊥AD. 又因为?