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【中考冲刺】数形结合的 5 个常考类型
数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题 , 它包含“以形助数”和“以
数解形”两个方面 . 利用它可使复杂问题简单化 , 抽象问题具体化 , 它兼有“数的严谨”与
“形的直观”之长 , 是优化解题过程的重要途径之一 , 是一种基本的数学方法 .
1 用数形结合的思想解题可分两类
(1) 利用几何图形的直观性表示数的问题 , 它常借用数轴、函数图象等;
(2) 运用数量关系来研究几何图形问题 , 常常要建立方程 ( 组) 或建立函数关系式等 .
22. 热点内容
在初中教材中,“数”的常见表现形式为 : 实数、代数式、函数和不等式等,而“形”
的常见表现形式为 : 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理
等 . 在直角坐标系下,一次函数图象对应一条直线,二次函数的图像对应着一条抛物线,这
些都是初中数学的重要内容 .
【典型例题】
类型一、利用数形结合探究数字的变化规律
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1. 如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则
第 n 个图形需要黑色棋子的个数是 .
【思路点拨】
首先计算几个特殊图形,发现:数出每边上的个数,乘以边数,但各个顶点的重复了一
次,应再减去 . 第 1 个图形是 2 ×3-3 ,第 2 个图形是 3×4-4 ,第 3 个图形是 4 ×5-5 ,按
2
照这样的规律摆下去, 则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是 (n+1)(n+2)- (n+2)=n +2n.
【答案与解析】
第 1 个图形是三角形,有 3 条边,每条边上有 2 个点,重复了 3 个点,需要黑色棋( 2
×3-3 )个;
第 2 个图形是四边形,有 4 条边,每条边上有 3 个点,重复了 4 个点,需要黑色棋子( 3
×4-4 )个;
第 3 个图形是五边形, 有 5 条边,每条边上有 4 个点,重复了 5 个点, 需要黑色棋子 (4
×5-5 )个;
按照这样的规律摆下去,则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是( n+1)(n+2)- (n+2)
=n (n+2).
2
故答案为 n (n+2)=n +2n.
【总结升华】
这样的试题从最简单的图形入手 . 找出图形中黑点的个数与第 n 个图形之间的关系,找规
律需要列出算式,一律采用原题中的数据,不要用到计算出来的结果来找规律 .
举一反三:
【变式】用棋子按下列方式摆图形,依照此规律,第 n 个图形比第 (n-1) 个图形多 _____枚棋
子.
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【答案】
解:设第 n 个图形的棋子数为 .
第 1 个图形, S =1;
1
第 2 个图形, S2=1+4;
3
第 3
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