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五大模型
一、等积变换模型
⑴等底等高的两个三角形面积相等;
其它常见的面积相等的情况
⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。
S S
1 2
如上图 S : S a : b
1 2
⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图 S = S ;
△ ACD △BCD
反之,如果 S△ ACD S△ BCD ,则可知直线 AB 平行于 CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;
⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
二、鸟头定理(共角定理)模型
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角 (相等角或互补角 )两夹边的乘积之比。
如图,在 △ ABC 中, D, E 分别是 AB , AC 上的点 (如图 1)或 D 在 BA 的延长线上, E 在 AC 上 (如
图 2) ,则 S : S ( AB AC ) : (AD AE )
△ ABC △ ADE
图 1 图 2
三、蝴蝶定理模型
任意四边形中的比例关系 ( 蝴蝶定理“ ”):
① S : S S : S 或者 S S S S ② AO : OC S S : S S
1 2 4 3 1 3 2 4 1 2 4 3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不
规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例
关系。
梯形中比例关系 ( 梯形蝴蝶定理“ ”)
① S : S a2 : b2
1 3
② S : S : S : S a2 :b2 : ab : ab ;
1 3 2 4
2
③梯形 S 的对应份数为 a b 。
四、相似模型
相似三角形性质:
金字塔模型 沙漏模型
① AD AE DE AF ;
AB AC BC AG
② S : S AF 2 : AG2 。
△ADE △ABC
所谓的相似三角形, 就是形状相同, 大小不同的三角形 ( 只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它
们都相似 ),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型
△ △ △ △ :
S ABG :S AGC S BGE :S EGC BE EC
S△BGA :S△ BGC S△AGF :S△ FGC AF : FC
△ △ △ △
S AGC :S BCG S ADG :S DGB AD : DB
典型例题精讲
例 1 一个长方形分成 4 个不同的三角形, 绿色三角形面积是长方形面积的
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