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求动点的轨迹方程(例题,习题与答案)
在中学数学教学和高考数学考试中,求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难
点和重点内容(求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于:求轨迹方程时,题目中
没有直接告知轨迹的形状类型;而求曲线的方程时,题目中明确告知动点轨迹的形
状类型)。求动点轨迹方程的常用方法有: 直接法、定义法、相关点法、参数法与
交轨法 等;求曲线的方程常用“ 待定系数法 ”。
求动点轨迹的常用方法
动点 P 的轨迹方程是指点 P 的坐标( x, y )满足的关系式。
1. 直接法
(1)依题意,列出动点满足的几何等量关系;
(2 )将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。
例题 已知直角坐标平面上点 Q(2 ,0 )和圆 C:x2 y 2 1,动点 M到圆 C 的切线长等与 MQ ,
求动点 M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
解:设动点 M(x,y) ,直线 MN切圆 C于 N。
2 2
依题意: MQ MN ,即 MQ MN
2 2 2
而 MN MO NO ,所以
2 2
MQ MO 1
2 2 2 2
(x-2) +y =x +y -1
化简得: x= 5 。动点 M 的轨迹是一条直线。
4
2. 定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件,由动点满足的几何条件可以判断出动点
的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定义。依题意求出曲线的相关参数,进一步写出
轨迹方程。
2 2
例题: 动圆 M 过定点 P (-4,0 ),且与圆 C: x y 8x 0 相切,求动圆圆心 M 的轨迹
方程。
解:设 M(x,y) ,动圆M的半径为 r。
若圆 M 与圆 C 相外切,则有 ∣M C ∣=r +4
若圆 M 与圆 C 相内切,则有 ∣M C ∣=r-4
而∣ M P ∣=r, 所以
∣M C ∣- ∣M P ∣=±4
动点 M 到两定点 P(-4,0),C(4,0) 的距离差的绝对值为 4,所以动点 M 的轨迹为双曲线。 其中 a=2,
c=4 。
动点的轨迹方程为:
2 2
x y
1
4 12
3. 相关点法
若动点 P(x ,y) 随已知曲线上的点 Q(x 0 ,y 0 ) 的变动而变动,且 x 0 、y 0 可用 x 、y 表示,则
将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点 P 的轨迹方程。这种方法称为相关点法。
2 2
例题: 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3), 端点 A 在圆 C :(x 1) y 4 上运动 , 求线段 AB
的中点 M的轨迹方程。
解: 设 M(x,y), A( x A , yB ), 依题意
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