数学一模汇编：几何综合题精品资料.pdf

2012 年北京市中考数学一模分类汇编——几何综合 等边三角形、等腰三角形 +旋转变换 1. （燕山）已知：如图，点 P是线段 AB上的动点，分别以 AP、BP为边向线段 AB的同侧作 APC BPD AD BC M 正△ 和正△ ， 和 交于点 . （1）当△ APC和△ BPD面积之和最小时，直接写出 AP : PB的值和∠ AMC的度数； （2 ）将点 在线段 上随意固定，再把△ 按顺时针方向绕点 旋转一个角度 α，当 P AB BPD P α60 °时，旋转过程中，∠ 的度数是否发生变化？证明你的结论 . AMC （3 ）在第（ 2 ）小题给出的旋转过程中，若限定 60 ° α120°，∠ AMC的大小是否会发 生变化？若变化，请写出∠ AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠ AMC的度数 . C M D A P B 8. ⑴ 1 ， 60° ……………………… 2 分 ⑵ 不变化 . C 证明：如图，点 E 在 AP 的延长线上， ∠BPE=α60°. （只要画出了符合题意的图形即可得分）……… 3 分 ∵∠ BPC=∠CPD+60°, ∠DPA=∠CPD+60°, ∴∠ BPC=∠DPA. D M 在△ BPC和△ DPA中，又∵ BP=DP， PC=PA， ∴△ BPC≌△ DPA. ………… 4 分 A P E ∴∠ BCP=∠DAP. B ∴∠AMC=180°- ∠ MCP-∠PCA-∠MAC= 120°- ∠BCP - ∠MAC =120°- （∠DAP+∠MAC）- ∠PCA =120°- ∠PAC = 60 °，且与 α的大小无关 . …………………… 6 分 ⑶ 不变化， 60° ………………………… 7 分 2. （东城） 已知∠ ABC=90 °，点 P 为射线 BC上任意一点（点 P 与点 B 不重合），分别以 AB、AP为边在∠ ABC的内部作等边△ ABE和△ APQ,连结 QE并延长交 BP于点 F. （1）如图 1，若 AB= 2 3 ，点 A、E、P 恰好在一条直线上时，求此时 EF 的长（直接写 出结果）； （2 ）如图 2 ，当点 P为射线 BC上任意一点时，猜想 EF与图中的哪条线段相等（不能添 加辅助线产生新的线段） ，并加以证明； （3 ）若 AB= 2 3 ，设 BP= x ，以 QF为边的等边三角形的面积 y ，求 y 关于 x 的函数关系