算法设计与分析讲义chapter2.pdf

第二章 算法分析的数学基础 outline 1 算法复杂性的阶 2 和式的估计与界限 3 递归方程 4 集合、关系、函数、图、树等 5 计数原理和概率论 2.1 复杂性函数的阶 2.1.1 同阶函数集合 f n g n c1,c 2 0 n0 定义 2.1.1( 同阶函数集合 ). ( ( ))={ ( )| , , 当 n n0 c1f n g n c2f n f n , ( ) ( ) ( )} 称为与 ( ) 同阶的函数集合。 * 如果 g( n) ( f ( n)), 我们称个 g( n) 与 f ( n) 同阶。 * g( n) ( f ( n)) 常记作 g( n)= ( f ( n)) 。 * f ( n) 必须是极限非负的，即当 n 充分大以后， f ( n) 是非负的，否 则 ( f (n)) =空集。 2 2 例 1 证明 f (n) an bn c (n ) 2 2 2 1 2 证. 设 c n an bn c c n ，令 c =a/4, c =7a/4, 则 1 2 a 2 2 7 2 n an bn c an ， 4 4 令 n 2 max b a , c a 时 2 2 2 0 。当 n n0 c n an bn c c n 成立。 1 2 例 2 证明 6n3 (n2 ) 3 2 证. 如果存在 c1、c2 0，n0 使得当 n n0 时，c1 6n c2n 。于是，当 nc2/6 时， n c2/6 ，矛盾。 1 d i d 例 3 p n a n n ( ) i ( ) i 0 0 例 4 因任何常数 c (n ) ( ) c c c