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第一章
勾股定理培优专题
专题一
一、内容提要
1. 2 2 2
勾股定理及逆定理:△ ABC 中 ∠C =Rt ∠ a +b =c
2.
勾股定理及逆定理的应用
① 作已知线段 a 的 2 , 3 , 5 ……倍
② 计算图形的长度,面积,并用计算方法解几何题
③ 证明线段的平方关系等。
1. 勾股数的定义:如果三个正整数 a,b,c 满足等式 a2 +b2=c2 ,那么这三个正整数 a,b,c 叫做一组勾股数 .
2.
勾股数的推算公式
① 罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家 1789―― 1853)
任取两个正整数 m 和 n(mn), 那么 m2-n2 ,2mn, m2 +n2 是一组勾股数。
② 如果 a,b,c 是勾股数,那么 na, nb, nc (n 是正整数 )也是勾股数。
3. 熟悉勾股数可提高计算速度,顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有: 3 ,4 ,5; 5, 12 , 13;
7,24 ,25; 8 , 15, 17; 9,40 ,41。
1.常用勾股数口诀记忆常见勾股数
3 ,4 ,5 : 勾三股四弦五
5 , 12 ,13 : 5 ·12 记一生
6 ,8 , 10 : 连续的偶数
7 ,24 ,25 : 企鹅是二百五
8 , 15 ,17 : 八月十五在一起
特殊勾股数
连续的勾股数只有 3,4 ,5
连续的偶数勾股数只有 6,8 , 10
2.100 以内的勾股数
开头数字为 20 以内
4. 3 4 5 ;5 12 13 ; 6 8 10 ;7 24 25 ;8 15 17 ;9 12 15 ;9 40 41 ; 10 24 26 ; 11 60 61 ; 12 16 20 ;12 35 37 ;
13 84 85 ; 14 48 50 ; 15 20 25 ; 15 36 39 ; 16 30 34 ;16 63 65 ;18 24 30 ;18 80 82
二、例题
例 1.已知线段 a a 5 a 2a 3a 5 a
求作线段 5 a a
2 2 2
分析一: 5 a = 5a = 4a a 2a
∴ 5 a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
2
分析二: 5 a = 9a 4a2
∴ 5 a 是以 3a 为斜边,以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图(略)
例 2. 四边形 ABCD 中∠ DAB =60 ,∠ B =∠ D =Rt ∠, BC =1,CD =2
求对角线 AC 的长
A
例 3. 已知△ ABC 中,AB =AC ,∠ B =2∠A
2 2 c b
求证: AB -BC =AB ×BC
例 4.如图已知△ ABC 中, AD ⊥BC ,AB +CD =AC +BD
求证: AB =AC
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