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2007 年广州市高二数学竞赛试卷 题 号 一 二 三 合 计 （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） （ 15） 得 分 评卷员 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分． 一、选择题： 本大题共 4 小题， 每小题 6 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 请 将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内． x 1 7, x 0, 1．设函数 f ( x) 2 ，若 f (a 1) 1 ，则实数 a 的取值范围是（ ）． x , x 0. A ． - ,-4 B． 4,0 C． 0, D ． , 4 U 0, x2 y2 1的焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上， 如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么 PF1 是 PF2 的（ 2．椭圆 3 ）． 12 A ． 7 倍 B ． 5 倍 C． 4 倍 D ．3 倍 3．已知集合 M x, y lg x2 1 y2 lg x lg y ，则集合 M 中元素的个数为（ ）． 4 A ． 0 个 B ． 1 个 C． 2 个 D ．无数个 4 ． 设 M 是 uuur uuur BAC 30o ， 定 义 f ( M ) (m, n, p) ， 其 中 m, n, p 分 别 是 ABC 内 一 点 ， 且 AB AC 2 3, MBC , MCA , MAB 的面积，若 f ( P) 1 , x, y ，则 1 4 的最小值是（ ）． 2 x y A ． 9 3 1 B ．18 C． 16 D． 9 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上． 5．已知复数 z 满足： z2 z 1 0 ，则 1 z z2 z3 z2007 __________． 6．在区间 2,2 上任取两实数 a， b，则二次方程 x2 ax b2 0 有实数解的概率为 ． 7．已知函数 f (x) 满足： f (m n) f (m) f (n), f (1) 4 ，则 f 2 (1) f (2) f 2 (2) f (4) f 2 (3) f (6) L f 2 (251) f (502) ． f (1) f (3) f (5) f (501) 8．奇函数 f x 在 R 上为减函数，若对任意的 x 0,1 ，不等式 f kx f x2 x 2 0 恒成立，则实数 k 的 取值范围为 ． 9 ．四面体 ABCD 中， AB ＝ CD ＝ 6 ，其余的棱长均为 5 ，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等 于 ． 10．已知 x, y 满足 1 x2 4 y 3 16 x2 ，则函数 z x y 10 的最大值与最小值之和为 ． 4 4 三、解答题：本大题共 5 小题，共 90 分．要求写出解答过程． 11．（本小题满分 15 分） 已知函数 f ( x) m gn ，其中 m (sin x cos x, 3 cos x) ， n (cos x sin x,2sin x) （ 0 ）， 若 f ( x) 相邻两对称轴间的距离不小于 ． 2 （Ⅰ）求 的取值范围； （Ⅱ）在 ABC 中， a, b,c 分别是角 A, B,C 的对边， a 3, b c 3 ，当 最大时， f ( A) 1，求 ABC 的 面积． 12．（本小题满分 20 分） 各项都为正数的数列 { an n 2 an ． } 的前 n 项和为 S ，已知 2 Sn 1 an （Ⅰ）求数列 { an } 的通项公式； （ Ⅱ ） 若 数 列 { bn} 满 足 b1 2 ， bn 1 2bn ， 数 列 { cn} 满 足 cn an (n为奇数 ) bn ，数列 { cn} 的前 n 项和为 Tn，当 n 为偶数时， (n为偶数 ) （Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的 Tn 设计了一个程序如图，但同学乙 个程序如果被执行会是一个“死循环” （即程序会永远循环下去， 结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．  n： 0 求 Tn； n： n 2 认 为 这 而 无 法 n2 Pn ： 24n 4 Tn Pn ： 2007 ？ Yes 打印 n  No 结束 13．（本小题满分 20 分） 多面体 ABCD A1B1C1D1 的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示． C1 D1 A B1 1 a 2 a a D C 2 a a a A B 2 a 2 直观图 主 视 图 俯视图 左视图 （Ⅰ）求 A1 A 与平面 AB