“解析几何”中常用的数学思想方法..docxVIP

PAGE PAGE # PAGE PAGE # “解析几何”中常用的数学思想方法 数学思想是数学的灵魂， 是将知识转化为能力的桥梁， 也是解决问题的思维策略.《解 析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下： 数形结合的思想 数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法?应用数形结合思想，就是充分考查 数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关 系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 例1 ?如图，圆Oi与圆02的半径都是1,0102=4,过动点P分别作圆01、圆02的切线PM、 PN (M、N分别为切点)，使得PM , 2PN，试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹 方程. 思路分析：本题是解析几何中求轨迹方 y P 程问题，由题意建立坐标系，写出相关点 的坐标，由几何关系式：PM= 2PN , 即 PM =2PN ，结合图形由勾股定 理转化为：P012 1 2(P0； 1),设 P(x,y),由距离公式写出代数关系式，化简整理得出所求轨迹方程 解：以0102的中点0为原点，0102所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标 系，则 01 (-2, 0), 02 (2, 0),由已知：PM= J2PN，即 PM 2=2PN 2 ,因为两圆的 半径都为 1所以有：poi 1 2(P0； 1)，设 P (x,y)则(x+2) 2+y2-仁2[( x-2)2+y2-1], 即(x 6)2 y2 33 综上所述，所求轨迹方程为： (x 6)2 y2 33 (或x2 y2 12x 3 0). 分类讨论的思想 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某 个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题 的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 例2.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2,宽为1 ,AE、AD边分别在 x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图5所示) .将矩形折叠，使A点落在 线段DC上. 若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程； (H)求折痕的长的最大值。 1 解(I) (1 )当k 0时,此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程 y 2 当k 0时，将矩形折叠后 A点落在线段CD上的点为G(a,1) 1 所以A与G关于折痕所在的直线对称，有 kOG k 1,- k 1 a k a 故G点坐标为G( k,1)，从而折痕所在的直线与 0G的交点坐标(线段 OG的中点)为 号)即kxk 1 号)即 kx M(—,—)，折痕所在的直线方程 y 2 2 由(1 由(1)( 2)得折痕所在的直线方程为: k=0 时, (II)(1)当k 0时，折痕的长为2； (1)当k 0时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为k2 (1) 当k 0时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 k2 1 N(0，h)，P( k2 1 PN 2 (一)2 2 (J2 2k (k 1)3 4k2 3(k2 1)2 2k 4k2 (k2 1)3 8k 16k4 令y/ 令y/ 0解得k ?- PN max 27 16 所以折痕的长度的最大值 2。 参数思想 参数法解题的关键是恰到好处地利用或引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系， 利用参数提供的信息，顺利地解答问题。 例3.已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1) 求证无论a为何值，直线总过第一象限. ⑵ 5 PAGE 5 PAGE # PAGE PAGE # 为使这直线不过第二象限，求 a的范围. 解：⑴ 将方程整理得为 a(3x-y)+(-x+2y-1)=O TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document 1 3 对任意实数a，所给直线恒过直线 3x-y=O与x-2y+1=0的交点(—，), 5 5 \o Current Document 1 3 ???直线系恒过第一象限内的定点 (丄，3); 5 5 1 (2) 当a=2时，直线为 x=^不过第二象限；当 5 a工2 时，直线方程化为： 3a 1 3a 1 Q o A A 0 0 y= 3a 1 x- 1 ,不过第二象限的充要条件为 a 2 或 a 2 a2，总 a 2 a 2 1 1 0 0 a 2 a 2 之，a2时直线不过第二象限. 4?待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用 的方法. 例4?条件：(1)截y轴弦长为2.(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为 3:1. 在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 l : x 2y 0距离最小时圆的方程. 解：设所求圆