大数定理和中心极限定理汇编.ppt

第五章大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 ANSWER 1.为何能以某事件发生的频率 作为该事件的概率的估计? 大数 2.为何能以样本均值作为总体 定律 期望的估计? 3.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位? 中心极 4.大样本统计推断的理论基础 限定理 是什么? 大数定律和中心极限定理是概率论的重要基本理 论,它们揭示了随机现象的重要统计规律,在概率 论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要 的意义 迄今为止,人们已发现很多大数定律 laws of large numbers 所谓大数定律,简单地说,就是大量数目的随机变量所呈现 出的规律,这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻 画 本章仅介绍几个最基本的大数定律。下面,先介绍一个 重要的不等式。 5.1切尔谢夫不等式 要不等式 马尔可夫( Markov)不等式 设非负随机变量X的期望E(X)存在, 则对于任意实数E0 P(X≥E)≤ E(X) 推论2—切贝雪夫( chebyshev)不等式 设随机变量X的方差D(X)存在, 则对于任意实数E0, P(X-E(Xea D(X) 或P(X-E(X)kE)≥1 D(X) 示意图 (x) D5/2 Ec-8 E Es+a 例1设x是掷一颗骰子所出现的点数,若给定 e12,实际计算PBe并验证切贝谢 夫不等式成立 解因P(x=k=1/6,(k=-1,2,3,4,5,6) k1+2+3+4+5+67 2621+4+9+16+25+369 6 D=E5-(E5147-35 1212 B=1:2352 P(s D535351 P(5-2) 4×12483 例2设有一大批种子,其中良种占16.试估计 在任选的6000粒种子中,良种所占比例与 1/6比较上下小于1%的概率 解设X表示6000粒种子中的良种数, E(X)=1000D()S:二项分布 X~B(6000,1/6) 6 0.01 60006 5000 P(X-1000k60)≥1-683 0.7685 602108 实际精确计算: 60006 001=P(940X1060 1059 6000-k 6000 0.959036 k=941 用 Poisson分布近似计算: 取元=1000 X 001=P(940X1060 6000-6 91000e 1000 0.937934 941k! 设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯 的概率是0.7,而假定开、关时间彼此独立,估计夜晚同 时开着的灯数在6800与7200之间的概率.(p105) 解设X表示夜晚同时开灯的数目 X~B(10000.7) 注:二项分布 例4设每次试验中,事件A发生的概率为0.75 试用 Chebyshev不等式估计,n多大时,才 能在n次独立重复试验中,事件A出现的 频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90 解设X表示n次独立重复试验中事件A发生 的次数,则 X~B(n20.75) E(X)=0.75m,D(X)=0.1875m事件A发生 要使P074076≥090,求n