相似三角形的性质典型例题3--辅助线的作法精品资料.pdf

相似三角形的性质 -- 添加辅助线的方法 二. 与相似三角形有关的辅助线 （一）主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线 （二）其他辅助线的做法举例 例 1： 已知：如图，△ ABC 中，AB ＝AC，BD⊥AC 于 D． 2 求证： BC ＝2CD ·AC． A 2 BC AC 分析： 欲证 BC ＝2CD ·AC，只需证 ．但因为结论 2CD BC 中有“ 2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图 形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分 D 变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“ 2 ”所放的位置 不同，证法也不同． B C 证法一 （构造 2CD）：如图，在 AC 截取 DE＝DC， ∵BD⊥AC 于 D， ∴BD 是线段 CE 的垂直平分线， ∴BC=BE，∴∠ C=∠BEC， A 又∵ AB ＝AC， ∴∠ C=∠ABC． E ∴ △BCE∽△ ACB． D BC AC BC AC ∴ ， ∴ CE BC 2CD BC B C 2 ∴BC ＝2CD ·AC． 证法二 （构造 2AC）：如图，在 CA 的延长线上截取 AE＝AC，连结 BE， ∵ AB＝AC， E ∴ AB＝AC=AE． ∴∠ EBC=90°， 又∵ BD⊥AC． ∴∠ EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴∠ E=∠DBC， A ∴△ EBC∽△ BDC BC CE BC 2AC ∴ 即 D CD BC CD BC 2 C ∴BC ＝2CD ·AC． B 1 证法三 （构造 BC ） ：如图，取 BC 的中点 E，连结 AE，则 2 A 1 EC= BC ． 2 又∵ AB=AC， ∴AE⊥BC，∠ ACE=∠C