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第二章 一元二次方程
第 1 讲 一元二次方程概念及解法
【知识要点 】
一 . 知识结构网络
直接开平方法
配方法
解
公式法
一
因式分解法
元
法
分式方程的解法
二
二元二次方程组的解法
次
方
性
判别式
程
质
根与系数的关系
应
二次三项式的因式分解
用
列方程或方程组解应用题
二、一元二次方程的四种解法
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一,适用于方程经过适当整理后,可化为 x 2 b b 0 或
x a 2 b 的形式的方程求解。当 b 0 时,可两边开平方求得方程的解;当 b 0 时,方程无实数根。
因式分解法解方程的步骤: ( 1)将方程一边化为 0;(2)将方程另一边分解为两个一次因式的乘积; ( 3)令每个一次因式等于 0,得到两个一元一次方程后求解,它们的解就是原一元二次方程的解。
配方法解一元二次方程的步骤为: ( 1)化二次项系数为 1( 2)移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常
数项。( 3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方( 4)原方程变为 ( x m)2 n 的形式( 5)如果右边是非
负数,就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤:
( 1)将方程化为一般形式 ax 2
bx c
0 ,确定 a、 b、 c 的值;(2)计算
b 2
4ac 的 值 并 判 别其 符 号 ;( 3 ) 若 b2
4ac 0 , 则 利用 公 式 x
b b 2
4ac 求 方程 的 解 ,若
2a
b 2
4ac 0 ,则方程无实数解。
【典型例题】
( 1) 6x 2 7x 3 0 (用因式分解法)
1
解: ( 3x
1)( 2x
3)
0
∴ 3x
1
0或2x
3
0
∴ x 1
1 , x 2
3
3
2
( 2) 3x 2
4x
1(用公式法)
解: 3x 2
4x
1
0
( 4) 2
4 × 3 × ( 1)
280
∴ x
(
4) ± 28
2 ±
7
2 × 3
3
∴ x 1
2
7
2
7
3
, x 2
3
(3) 2x 2
2x
30
0 (用配方法)
解: x 2
2
x
15
2
x 2
2 x (
2 )2
15 (
2 )2
2
4
4
( x
2 )2
1 2 1
4
8
∴ x
2
± 11
2
4
4
∴ x1
3 2,x 2
5
2
2
【经典练习】
一、直接开方法
( 1) ( x 1)2 (1 2x)2 ( 2) ( x a) 2 b
二、配方法注:
( 1) 2
x
2
2
x
30 0
( 2) 3x
2
4x 1
二、公式法
用求根公式法解下列方程
(1) x2 2x 2 0 ;
2
解:
( 2)2 y2
8 y
1
0 ;
解:
(3)2x2
3x
1
0 ;
8
解:
(4)3y 2
2 y
1;
解:
(5) 2x2
5x
1
0;
解:
(6) x2
2
5x
3
0 ;
解:
( 7)3x2
4 x
5
0 ;
解: (7) 方程无实数根;
(8) 2 x2
4 3x 2 2 0 ;
解:
(9) 0.02 x 2
0.03x
0.35 ;
解: (9) 先在方程两边同乘以 100,化为整数系数,再代入求根公式,
(10)(1 2 3) x x 2 3(1 3)
解: 。
三、因式分解
用因式分解法解下列各方程:
1) x2- 5x-24= 0;
解: ;
2) 12x2+ x- 6= 0;
解: ;
3) x2- 4x-165= 0
3
解: ;
4) 2x2- 23x+ 56= 0;
解: ( 2x
7)( x
8)
0, x 1
7 , x 2
8 ;
2
(
5)
9
2
24
16
4 12
;
x
x
x
解:
( 6)
3
3
3 3
x)
2
;
( x
)
(
解:
( 7) x2
( 3
2 ) x
6 0
解:
;
( 8) ( x 2) 2
5x 10
6 ;
解: (x- 2)2- 5(x- 2)+ 6= 0,(x- 2- 2)(x - 2-3)= 0, x1= 4,x2=5;
9) t(t + 3)= 28;
解: ( 9) t2+ 3t- 28= 0, (t+7)(t - 4)= 0, t1=- 7,t2= 4;
10) (x+ 1)(x + 3)=15。
解: x2 +4x+ 3=15, (x+ 6)(x - 2)= 0,x1=- 6, x2=2
用因式分解法解下列方程:
1) (y- 1)2+ 2y(y - 1) =0;
解: ;
2) (3x+ 2)2= 4(x -3) 2;
解: [( 3x
2)
2( x
3)][(
3
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