线性代数课件：1-4对换.ppt

一、对换的定义 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 定理2 n阶行列式也可定义为 其中 表示对1,2,…,n这 n个数组成 的所有排列i1,i2,…,in取和. 证 对于行列式原定义的任一项 当列指标组成的排列 j1,j2,…,jn经过 p次对换变成标准排列 12…n时,相应的行指标组成的排列 12…n经过 p次对换变成排列 i1,i2,…,in由于乘法的可交换性,则 根据定理1的推论, 可知对换次数 p的奇偶性与 ? ( j1,j2,…,jn)的奇偶性相同, 同样,p与 ? (i1,i2,…,in )也有相同的奇偶性. 因此? ( j1,j2,…,jn)与 ? (i1,i2,…,in )具有相同的奇偶性, 即 这意味着行列式的两种定义所用的乘积项不仅符号对应相同，而且元素乘积也对应相同。只是因观察角度不同使得乘积项元素的下标编排不同。于是定理成立。 1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性． 2.行列式的两种表示方法 三、小结 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 思考题 证明 在全部 阶排列中 ,奇偶排列各占一半.