不等式中函数与方程思想的应用.docVIP

不等式中函数与方程思想的应用 函数思想与方程思想是一种解题观念，其运用范围并不局限于函数(方程)问题，它们具有广泛的联系性与渗透性，常迁移到不等式中, 运用函数思想解题具体表现在:把不等式、方程等问题转化为函数问题简捷求解；运用方程思想解题主要表现在：用方程思想建立(或确定)不等关系；下面给出一些“函数与方程思想”在不等式中的灵活运用的实例. 例1已知不等式|x - 2| + |x - 5| a有解，求a的取值范围． 解 设f(x)=|x-2|+|x-5|= g(x)=a在同一直角坐标系中画出两函数图像(如图). 函数f(x)的最小值为3，要使原不等式有解，必须且只须a 3，即所求a的范围为(3，+∞). 点拨 本例是运用函数思想解决的非函数问题，要熟练运用函数思想解需对相关知识的本质与函数的关系认识清楚，同时对相应函数的性质要熟悉. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c与一次函数g(x)=-bx，其中a、b、c满足ac，a+b+c = 0(a、b、c∈R). (1)求证：两函数图像交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B2之长的取值范围. 分析 前者即为方程组解的情况；后者可将|A1B2|表为a、b、c的函数从而化为函数的值域问题． 证明 (1)∵a0，ac，∴3ca+b+c=0，即c0．从而可知aO，由方程组 ax2+2bx+c=0 ………………………………① ∵△=4(b2-ac)0 (∵ac0), ∴方程①有两相异实根．∴方程组有两组不同的解，亦即两函数图像交于不同的两点A、B. 解 (2)设方程①的两根为x1、x2由违达定理知x1+x2=-，x1·x2=，故 |A1B2|=(x1-x2)2 = (x1+x2)2-4x1x2=4·=4·=4. 设t=. 则|A1B2|2=4(t2+t+1)=4[(t+)2+],由, 即-2t-,此时|A1B2|2为t∈(-2,-)上的减函数,故3|A1B2|212.从而得|A1B2|的取值范围是(,2). 点拨 本题涉及到一、二次函数的图像，一元二次方程，解不等式，二次函数在区间上取值范围等多个知识点．由于二次函数问题是中学数学的核心问题之一，是考查学生逻辑思能力的重要题材，也是高考的热点问题，故须熟练掌握二次函数(图像)与方程、不等式间的互联系与转化． 例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元. (1)求该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. 解 (1)设该厂应每隔x天购买一次面粉．则采购量为6x(吨)，面粉的保管等其他费用为3[6x + 6(x-1) + … + 6×2 + 6×1] = 3·= 9x(x + 1)．设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1 = [9x(x + 1) + 900 ] + 6×1800 = + 9x + 10809≥2 + 10809 = 10989.当且仅当9x = ，即x = 10时上式取等号．故该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)由210÷6=35知，若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购面粉一次.设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购面粉一次，平均每天支付的总费用为y2元，则y=[9x(x+1)+900]+6×1800×0.9=9(x+)+ 9720(x≥35)．令f(x)=x+(x≥35)．利用函数单调性定义易证f(x)在x∈[35，+∞]上是增函数，故f(x)≥f(35)．∴y2的最小值为9f(35)+9720．而9f(35)+9720=9(+35)+97209(35+3)+972010×38+9720=1010010989，于是该厂应考虑利用此优惠条件. 点拨 考察应用意识与建模能力已是高考命题改革的新成果，解答数学应用问题的关键是建立数学模型．本题第(1)问运用均值不等式求得函数的最值；第(2)问是利用单调性求函数的最值，这也是求解函数最值模型中最基本的两种思路．本题的答案虽是唯一的，但解题的思路是发散、开放的．