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单元检测八 立体几何与空间向量
( 时间: 120 分钟 满分: 150 分 )
第Ⅰ卷 ( 选择题 共 40 分 )
一、选择题 ( 本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的 )
1.下列命题中,错误的是 ( )
A.平行于同一平面的两个平面平行
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交
D.一条直线与两个平行平面所成的角相等
答案 B
解析 选项 A 正确,是面面平行的传递性.选项 B 错误,比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都
平行,但两侧面所在平面相交.选项 C 正确,由反证法,若直线与另一平面不相交,则直线在
平面内或直线与平面平行,与直线与第一个平面相交矛盾.选项 D 正确,由线面角定义可知正
确.
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的
表面积是 ( )
A.25 πB.50 πC.125 πD.都不对
答案 B
解析 长方体的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球是长方体的外接球,所以球的直径等于长
方体的体对角线长,即 R==,所以球的表面积为 4 πR2=4 π ·2 =50 π,故选 B.
3. 如图,在多面体 ABCDEF中,已知底面 ABCD是边长为 3 的正方形, EF∥AB,EF=,且 EF与底
面 ABCD的距离为 2,则该多面体的体积为 ( )
A.B .5C.6D.
答案 D
解析 分别取 AB,CD的中点 G,H,连接 EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三
棱柱,可求得四棱锥的体积为 3,三棱柱的体积为,进而整个多面体的体积为 .
4. 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1中,∠ DAD1=45°,∠ CDC1=30°,那么异面直线 AD1与 DC1
所成角的余弦值是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由长方体∠ DAD1=45 °,∠ CDC1=30 °,设 AD=DD1=1,CD=. 连接 BC1,BD.
由 AD1∥ BC1,所以异面直线 AD1 与 DC1所成角,即∠ BC1D.
在△ BDC1中, BC1=, BD=2, C1D=2 ,由余弦定理可得 cos ∠BC1D===,
所以异面直线 AD1 与 DC1所成角的余弦值是 .
5.(2018 ·嘉兴测试 ) 已知两个不同的平面 α, β和三条不同的直线 m, a,b ,若 α∩ β=m,
a? α且 a ⊥m, b? β,设 α和 β所成的一个二面角的大小为 θ1,直线 a 与平面 β所成的角的大
小为 θ2,直线 a ,b 所成的角的大小为 θ3 ,则 ( )
A. θ1= θ2 ≥ θ3 B. θ3 ≥ θ1= θ2
C. θ1≥ θ3 , θ2 ≥ θ3 D. θ1≥ θ2, θ3≥ θ2
答案 D
解析 由题意可知 θ1= θ2 或 θ1+ θ2 = π,因为线面角的范围为,二面角的范围为 [0 , π] ,
所以 θ1≥ θ2;当 b⊥m时, θ2= θ3,当 b 不与 m垂直时, θ2< θ3 ,所以 θ2 ≤ θ3. 故选 D.
6.若圆锥的侧面展开图是半径为 2 ,圆心角为的扇形,则由它的两条母线所确定的最大截面与
底面所成二面角的余弦值为 ( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设圆锥底面圆的半径为 r ,
由 2 πr =×2 ,得 r =,设轴截面顶角大小为 2 θ,
则 sin θ=>,所以 2 θ>,
设两条母线所确定的截面最大时,两条母线的夹角为
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