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§4.2 换元积分法(第二类)
Ⅰ 授课题目(章节):
§4.2 换元积分法 (第二类换元积分法)
Ⅱ 教学目的与要求:
1.了解第二类换元法的基本思想
2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法
Ⅲ 教学重点与难点:
重点:第二换元法中的三角代换及根式代换
难点:积分后的结果进行反代换
Ⅳ 讲授内容:
第一类换元积分法的思想是:在求积分 g (x)dx 时 如果函数 g(x)可以化为f [ (x)] (x) 的形
式 那么
u (x )
g (x)dx f [ (x)] (x)dx f [ (x)]d (x) f (u)du
F (u) C F [ (x)] C
所以第一换元积分法体现了 “凑”的思想.把被积函数凑出形如f [ (x)] (x) 函数来.对于某些
函数第一换元积分法无能为力,例如 a 2 x 2 dx .对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要
学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t) 将无理函数f (x) 的积分 f (x)dx 化为
有理式f [ (t)] (t) 的积分 f [ (t)] (t)dt 。即
f (x)dx f [ (t)] (t)dt
若上面的等式右端的被积函数 f [ (t)] (t) 有原函数 (t) ,则 f [ (t)] (t)dt (t) C ,
然后再把(t) 中的t 还原成 1(x) ,所以需要一开始的变量代换x (t) 有反函数。
定理 2 设x (t) 是单调、可导的函数,且 (t) 0 ,又设f [(t)] (t) 有原函数(t) ,则
1
f (x)dx f [(t)] (t)dt (t) C [ (x)] C
分 析 要 证 明 f (x)dx [ 1(x)] C , 只 要 证 明 [ 1(x)] 的 导 数 为 f (x) ,
d 1 d dt dt
[ (x)] , ?
dx dt dx dx
§4.2 换元积分法 1
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