正方形经典例题与答案[参照].pdfVIP

典型例题一 例01 ．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ，使CD  CE ，过E 点作 EF  A C 交AD 于F. 求证：AE  EF  DF . 证明 连 CF. 在正方形ABCD 中，D  DAB  90 ，AC 平分DAB . ∵DA C  CAB  45， 又∵EF  A C ， ∴DA C  AFE  45. ∴AE  EF 在RtCEF 与RtCDF 中， CE  CD , CF  CF ∴RtCEF  RtCDF (HL) ∴EF  DF ∴AE  EF  DF . 说明：本题考查正方形的性质，易错点是忽视AEF 是等腰直角三角形. 解题关键是证AEF 是等腰直角三角形和连CF 证CDF  CEF . 典型例题二 例02 ．如图，已知：在AB C 中，A CB  90，CD 是A CB 的平分线， DE // A C 交BC 于E ，DF // B C 交AC 于F . 求证：四边形CEDF 是正方形. 分析：要判定一个四边形是正方形有这样几种方法：①按照定义证明，②先证明它是 菱形，再证它有一个角等于 . ③先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等，那么本题 90 中，因有一个角A CB  90，且有两对平行线段，我们不妨采用第三种证明方法. 那么 由角平分线的性质定理容易证出DE  DF . 证明：∵DE // A C,DF // B C （已知） ∴ 四边形CEDF 是平行四边形. ∵A CB  90 （已知）， ∴ 四边形CEDF 是矩形（有一个角是 的平行四边形是矩形）. 90 ∵DE // A C,DF // B C, A CB  90 （已知）， ∴DE C  DF C  90 又∵CD 是A CB 的平分线（已知）， ∴DE  DF （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. ∴ 四边形CEDF 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 说明 正方形是特殊的平行四边形，也是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角 的特殊菱形．所以在判断一个图形是否为正方形时，由它的特殊性出发，通过先证它是平 行四边形、矩形和菱形来完成． 典型例题三 例03 ．已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分CBE 交CD 于 F. 求证：BE  CF AE . 证法1 延长DC 至N ，使CN  AE ，连 BN ，则ABE  CBN . ∴ABE  CBN ,BE  BN . ∵四边形ABCD 为正方形， ∴CD // AB ∴NFB  ABF . ∵ABF  ABE EBF , NBF  NB C CBF ，EBF  FB C ， ∴NBF  NFB ∴BN  NF  CN  CF ∴BE  AE  CF 证法2 如图，延长DA 到G，使A G  CF ，连 BG ，则BA G  B CF . ∴AB G  CBF , G  CFB , A G  CF . ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴AD // B C ∴ABF  CFB ∵EBF  CBF ， ∴AB G  EBF ∴AB G ABE  EBF ABE ， 即EB G  ABF ∴G  EB G ∴EB  E G  EA A G  AE  CF 说明 构造全等三角形是关键