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典型例题一
例01 .如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取点E ,使CD CE ,过E 点作
EF A C 交AD 于F.
求证:AE EF DF .
证明 连 CF.
在正方形ABCD 中,D DAB 90 ,AC 平分DAB .
∵DA C CAB 45, 又∵EF A C ,
∴DA C AFE 45. ∴AE EF
在RtCEF 与RtCDF 中, CE CD , CF CF
∴RtCEF RtCDF (HL) ∴EF DF ∴AE EF DF .
说明:本题考查正方形的性质,易错点是忽视AEF 是等腰直角三角形.
解题关键是证AEF 是等腰直角三角形和连CF 证CDF CEF .
典型例题二
例02 .如图,已知:在AB C 中,A CB 90,CD 是A CB 的平分线,
DE // A C 交BC 于E ,DF // B C 交AC 于F .
求证:四边形CEDF 是正方形.
分析:要判定一个四边形是正方形有这样几种方法:①按照定义证明,②先证明它是
菱形,再证它有一个角等于 . ③先证明它是矩形,再证它有一组邻边相等,那么本题
90
中,因有一个角A CB 90,且有两对平行线段,我们不妨采用第三种证明方法. 那么
由角平分线的性质定理容易证出DE DF .
证明:∵DE // A C,DF // B C (已知) ∴ 四边形CEDF 是平行四边形.
∵A CB 90 (已知),
∴ 四边形CEDF 是矩形(有一个角是 的平行四边形是矩形).
90
∵DE // A C,DF // B C, A CB 90 (已知), ∴DE C DF C 90
又∵CD 是A CB 的平分线(已知),
∴DE DF (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∴ 四边形CEDF 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
说明 正方形是特殊的平行四边形,也是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角
的特殊菱形.所以在判断一个图形是否为正方形时,由它的特殊性出发,通过先证它是平
行四边形、矩形和菱形来完成.
典型例题三
例03 .已知:如图,在正方形ABCD 中,E 为AD 上一点,BF 平分CBE 交CD 于
F.
求证:BE CF AE .
证法1 延长DC 至N ,使CN AE ,连 BN ,则ABE CBN .
∴ABE CBN ,BE BN .
∵四边形ABCD 为正方形, ∴CD // AB ∴NFB ABF .
∵ABF ABE EBF , NBF NB C CBF ,EBF FB C ,
∴NBF NFB ∴BN NF CN CF
∴BE AE CF
证法2 如图,延长DA 到G,使A G CF ,连 BG ,则BA G B CF .
∴AB G CBF , G CFB , A G CF .
∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴AD // B C ∴ABF CFB
∵EBF CBF , ∴AB G EBF
∴AB G ABE EBF ABE , 即EB G ABF
∴G EB G
∴EB E G EA A G AE CF
说明 构造全等三角形是关键
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