江苏省高中数学竞赛教案 第13讲 奇偶分析.pdfVIP

第 13讲 奇偶分析法 把全体整数按被 2 除的余数分为两类：被 2 除余数为 0整数的称为偶数， k k k k 一般表示为 2 ( 为整数)，被 2除余数为 1整数的称为奇数，一般表示为 2 +1( 为整数)．由于既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类，也不会有一个整 数既不在奇数类又在偶数类，因此，我们可以把对整数问题的研究转化为对奇 数和偶数的研究．这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困 难的题目变得简单易解了. 奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质： 1、奇数不等于偶数； 2、在自然数数列中，奇数与偶数是相间排列的； 3、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数个奇数的 和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数； 4、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=4 的倍数，偶数×整数=偶数； 5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性 6、奇数的平方被4除余 1，偶数平方为4 的倍数； 奇偶分析也常表现为染色，把一个图形染成黑白两色，往往可视为其中一色 为奇数，另一色为偶数；也可视为用+1 与-1(或 1与 0)标号，……总之，在分 成两类对问题进行讨论时，常常可以看成是在进行奇偶分析． A类例题 1⑴ 证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点． ⑵ 至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都 不是整数． ⑴ 分析 按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面格点分类，用抽屉原理证明． 证明 按横坐标与纵坐标的奇偶性把平面上的所有格点分类，共有4类：(奇， 奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)． A x y B x y 任取5个格点，必有2点属于同一类，设 ( ， )， ( ， )这二点是属于 1 1 2 2 1 1 M x x y y 同一类的两点，则其连线的中点 ( ( ＋ )， ( ＋ ))即为格点．故得证． 2 1 2 2 1 2 ⑵ 分析 考虑三角形的面积如何计算． 1 S x x y y x x y y 解 由三角形面积表达式 = [( － )( － )－( － )( － )]知，如果三 2 1 2 2 3 2 3 1 2 角形有某两个顶点属于同一类(上题中的分类)，则其面积为整数；如果三个顶 点都不同类，则其面积不为整数． 于是取分属于4个不同的类的4个格点，以这4点中的任三点为顶点的三角 形面积都不为整数，但如果取 5 个格点，则必有某两点属于同一类，此时以这 二个点及另外任一点为顶点的三角形面积为整数． 故至多取4个点，且此四点应分属不同的4类． 说明 把整数分成“奇数”与“偶数”这两类，就相当于构造了两个抽屉， 从而奇偶分析常常用抽屉原理为工具解决问题． 链接 在坐标系内的三角形的面积公式： 为了方便，先把三角形放在第一象限内，当三角形不在第一象限内时， 可利用平移公式说明结论仍然成立． ABC y y 如图，Δ 的三个顶点(按逆时针旋 P 3