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专升本高等数学测试题 1. 函数 y 1 sin x 是（ D ）． （ A） 奇函数； （ B） 偶函数； （ C） 单调增加函数； （D） 有界函数． 解析 因为 1 sin x 1，即 0 1 sin x 2 , 所以函数 y 1 sin x 为有界函数． 2.若 f (u) 可导，且 y f (ex ) ，则有（ B ）； （ A ） dy f ' (ex )dx ； （ B） dy f ' (ex )exdx ； （ C） dy f (ex )exdx ； （ D） dy [ f (ex )]' exdx ． 解析 y f (ex ) 可以看作由 y f (u) 和 u ex 复合而成的复合函数 由复合函数求导法 y f (u) ex f (u) ex ， 所以 d y y x f x x x ． d ' (e )e d 3. e x dx =( B ); 0 (A) 不收敛 ; (B)1; (C) －１ ; (D)0. 解析 0 e xdx e x 0 1 1． 0 4. y 2 y y (x 1)ex 的特解形式可设为（ A ）； (A) x2 (ax b)e x ； (B) x(ax b)ex ； (C) ( ax )ex ； (D) (ax b) x 2 ． b 解析 特征方程为 r 2 2r 1 0 ，特征根为 r1 = r2 =1． =1 是特征方程的特征重根， 于是有 y p x2 (ax b)ex ． 5. x 2 y 2 dxdy ( C ) ，其中 D ： ≤ x 2 y 2 ≤ 4 ； 1 D 2 π 4 2 d r ； 2 π 4 (A) 0 d r (B) 0 d r d r ； 1 1 (C) 2 π 2 2 d r ； (D) 2 π 2 0 d r 0 d r d r ． 1 1 解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式． 当 x r cos 时 ， dxdy r dr d ， 由 于 1 ≤ x 2 y 2 4 D 1 r 2 0 2 ≤ ， 表 示 为 ， y r sin π， 故 x 2 y2 dxdy r r drd 2π 2 2 dr ． d 1 r D D 0 6.函数 y = 1 arcsin( x 1) 的定义域 3 x2 2 解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小 于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解 .即 3 x 0 , 3 x 3 , 3 x 2 0 , 推得 x 1 1, 0 x 4 , 2 即 0 x 3 , 因此，所给函数的定义域为 [0 , 3) . 7. 求极限 lim 2 x 2 = x 2 2 x 解：原式 = lim  ( 2  x 2)( 2 x 2 ) x 2 = lim x 2 2 1 = . 4  (2 x)( 2 x 2) 1 2 恒等变换 之后“ 能代就代 ”） x sinπt dt 8. 求极限 lim 1 = x 1 1 cosπx 解： 此极限是“ 0 ”型未定型，由洛必达法则，得 0 x sinπt dt x sinπt dt) 1 ( sinπx 1 1 = lim 1 =lim lim (1 lim ( ) x 1 1 cosπx x 1 cosπx)x 1 π sinπx x 1π π x t, 9.曲线 在点（ 1， 1）处切线的斜率 y t 3 , 解：由题意知： 1 t , 1 , 1 t 3 t , dy t 1 (t 3 ) t 1 3t 2 t 13 , dx (t ) 曲线在点（ 1， 1）处切线的斜率为 3 10. 方程 y' ' 2 y' y 0, 的通解为 解： 特征方程 r 2 2r 1 0 , 特征根 r1 r2 1 , 通解为 y (C1 C 2 x)ex . 11. 交错级数 ( 1) n 11 的敛散性为 n 1 n(n 1) （ 4） ( 1) n 11 = 1 , n 1 n(n 1) n 1 n(n 1) 而级数 1 收敛，故原级数绝对收敛 . n 1 n(n 1) 12. lim (1 12 ) x . （第二个重要极限 ） x x 1 ) x (1 1) x 1 ) x 1 ) x ] 1 解一 原式 = lim (1 lim (1 lim [(1 = ee 1 1， x x x x 0 x x x 1 1 解二 原式 = lim [(1 ( x2 ) ( x ) = e 0 1 ． 2 ) ] x x 13. lim [ 1 12 ln(1 x)] x 0