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第 10 讲 植树问题 　　绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵 数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问 题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。 　　先介绍四类最简单、最基本的植树问题。 　　为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用 线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数” 与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。 　　显然，只有下面四种情形： 　　 (1)非封闭线的两端都有“点”时， 　　“点数”＝“段数”＋1。 　　 (2)非封闭线只有一端有“点”时， 　　“点数”= “段数”。 　　 (3)非封闭线的两端都没有“点”时， 　　“点数”＝“段数”-1。 　　 (4)封闭线上，“点数”= “段数”。 　　最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。 　　例如，一条河堤长 420 米，从头到尾每隔 3 米栽一棵树，要栽多少棵 树？这是第(1)种情形，所以要栽树 420÷3＋1＝141(棵)。 　　又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长 40 米。肖林要在小路一 旁每隔 2 米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路 边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树 40÷2＝20(棵)。 　　再如，两座楼房之间相距 30 米，每隔 2 米栽一棵树，一直行能栽多 少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树 30 ÷2-1＝14(棵)。 　　再例如，一个圆形水池的围台圈长 60 米。如果在此台圈上每隔 3 米 放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花 60÷ 3＝20(盆)。 　　许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。 例 1 在一段路边每隔 50 米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯 杆，共埋设了 10 根。这段路长多少米？ 解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。这段路长为 50×(10-1) ＝450(米)。 　　答：这段路长 450 米。 例 2 小明要到高层建筑的 11 层，他走到 5 层用了 100 秒，照此速度计算， 他还需走多少秒？ 　　分析：因为 1 层不用走楼梯，走到 5 层走了 4 段楼梯，由此可求出走 每段楼梯用 100÷(5－1)＝25(秒)。走到 11 层要走 10 段楼梯，还要走 6 段楼梯，所以还需 　　25×6＝150(秒)。 解： ［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。 　　答：还需 150 秒。 例 3 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共 30 辆，每辆车长 4 米，前后 每辆车相隔 5 米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶 2 米，那么 这列车队要通过 535 米长的检阅场地，需要多少时间？ 解：车队间隔共有 　　30-1＝29(个)， 　　每个间隔 5 米，所以，间隔的总长为 　　 (30-1)×5＝145(米)， 　　而车身的总长为 30×4＝120(米)，故这列车队的总长为 　　 (30-1)×5+30×4＝265(米)。 　　由于车队要行 265＋535＝800(米)，且每秒行 2 米，所以，车队通过 检阅场地需要 　　 (265＋535)÷2＝400(秒)＝6 分 40 秒。 　　答：这列车队共长 265 米，通过检阅场地需要 6 分 40 秒。 例 4 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个 这样的铁环连在一起有多长？ 解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长 6 毫米)。根据植 树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为 5-1＝4(个)，所 以重叠部分的长为 　　6×(5-1)＝24(毫米)， 　　又 4 厘米=40 毫米，所以五个铁环连在一起长 　　40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。 　　同理，十个铁环连在一起的长度为 　　40×10-6×(10-1)=346(毫米)。 　　答：五个铁环连在一起的长度为 176