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2 3 2 3 数学准备知识 § 1矢量代数 .矢量定义 r A 磺A |A, A _A （单位矢量） A 在坐标系中 r A r Aei i 1 直角系 r A r r Azi Ayj r Ak 方向余弦： Ax Ay Az r A r r cos ——, cos cos —— — cos e cos ey cos A A， A A 3 AA2)A A A2) i 1 . 矢量运算 r r r r 交换律结合律满足平行四边形法则 交换律 结合律 满足平行四边形法则 r r r r r r (A B) C A (B C) r r 3 r A B (A Bj )e i 1 r r 3 标量积：A B Ab AB cos i 1 矢量积:混合积:r Ar ArBrfBr(BrBrcr Ar Ar(Br Ar rB Ar r rC) A BrAB sin enrArArc/(. rGr Br Br rA C 矢量积: 混合积: r Ar A rBrfB r(BrBrc r Ar Ar(B r A r rB A r r r C) A B r AB sin en rArArc /(. rGr Br B r rA C rei Ai Bi 交换律 分配律 r r e2 e3 A2 A3 B2 rcr Ar B B3 r A r c rA) 双重矢积：A (B C) (点3乘2, r r A (B —1—1 1 1—1 1 1 1—1 1 1—1 B(A C) C(A B) (A C)B (A B)C 点2乘3) r r C) (A r r B) C 三?矢量微分 r dA dA 3A -A—— dt dt dt r r r r d(A B) r dB A dA r B dt dt dt r r r r d(A B) r dB A dA r B dt dt dt 四?并矢与张量 r r r r r r 并矢：AB( 一般AB BA)，有九个分量。 若某个量有九个分量，它被称为张量 t r r 3 r r 3 r r r r T AB i ,j ABieej 1 Tjee i,j ee为单位并矢，张量的九个基。 r Ai 矢量与张量的矩阵表示： A Aei , A A2 或 A (Ai , A2 , A3) A3 Bi r r 3 AB ( Ai, A2 , A3 ) B2 A1B1 A2 B2 A3B3 A Bi B3 i 1 t r r T11 T12 T13 T AB T T21 T22 T23 T31 T32 T33 1 0 0 单位张量： t l 3 r r eej l 0 1 0 i 1 0 0 1  张量运算:r rT V (Tj Vj)eeji,jr r r rrr rrrAB C ABC A C BAC B与矢量点乘:C B A C BArrr r r rB C A B CABA Cr r ABr CrrrABC并矢与矢量叉乘：rr r 张量运算: r r T V (Tj Vj)eej i,j r r r rrr rrrAB C ABC A C B AC B 与矢量点乘: C B A C BArrr r r rB C A B CA BA C r r AB r C rrr ABC 并矢 与矢量叉乘： r r r r r r C AB C A B 并矢 C C C AB A B B 两并矢点乘：AB 两并矢二次点乘： 与单位张量点乘： r Br B r Ar A rc r r A Br rCD + r t C l r r AB r r A B r Ar A r B rDrcrcrA rcrB t— C AD 标量 r r r r CD AB (并矢) r r2 B A r rc与矢量C垂直。 r r 2 B A r r c与矢量C垂直。 (求 M C )。 r r r r ?计算 A B A B r r r r r r 3.计算下列各式:⑴ 3.计算下列各式: ⑴ a (a b) (0, rrr r r r r r r ⑵ a (b a)⑶(j i ) k ⑷(k i ) j 2r r r r a b a(a b), — 1, 1) 4.证明下列各式： ⑴(a b) (c dr) (a c)(b d) (a d)(b c) ⑵ a (b C) b r(c a)r c (ra b) 0 证：⑴(OCb[p(b)a)(d OfiW b)] (Cra)(d b) (C b)(d a) r ⑵ a (abC)(?b cf) 6 魏哥)洁 b) r r r r r r r r r r r r (a c)b (a b)c (b a)c (b c)a r r r r r r (c b)a (c a)b 0