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§ 1.柯西函数方程 考虑二元函数方程：f ：R―R f(x y) f(x) f(y) (1) 通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使 (1)的解是唯一，我们大多给予 一些附加条件。例如，要求该函数是“连续的 ”，或者必须是“在定义域中每一 个有限区间内为有界的”，或是“单调”函数…等。 解方程式(1)的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值， 直至所有实数值，而得到函数方程的解。下面我们在 f(x)的不同附加条件下来解 函数方程(1)。 Example 1:设函数f(x)在整个实数域上连续，求函数方程式(1)的解？ 【解】因为 TOC \o "1-5" \h \z f(x y) f(x) f(y) (1) 由数学归纳法易知，对任意的实数X1,X2, ,Xn有 f (x1 x2 Xn) f(xj f (: X2 ) f (Xn) 特别当X1 X2 Xn X 时， f(nx) nf(x) ⑵ 取x 1，可得 f(n) nf(1) 在⑴式中取X y 0 f(0) f(0) f(0: )f(0) 0 0 f(1) 因此，在(1)式中取X 1,y 1， 可得 f(0) f(1) f( 1) 0 f( 1) f(1) 在(2)式中取x 1， 则可得 f( n) nf( 1) nf⑴ 所以对任意的整 数m Z ， f(m) mf ⑴ 在(2)式中取x m (m, n为正整 数)， 有 n TOC \o "1-5" \h \z f(nm) nf(m) n n 但 f(m) mf(1) nf(-m) mf(1) f(m)m f(l) n n n 在于(1)式中取x m, y m，贝U可得 n n 0 f(0) f(m m) f(m) f( m) TOC \o "1-5" \h \z n n n n m m m f( ) f( ) f(1) n n n 所以对任意的有理数r, f(r) rf (1) 因为有理数是实数的稠密子集，且 f为连续函数，所以 ⑶Q。(A) ⑶ Q。 (A) 故⑶是⑴在C(R)中唯一的解。 Example 2：若函数f(x)在某一充分小的区间(a,b)内为有界，求(1)的解。 【解】：在上例中，我们已证明在给定 f(1) c之條件下，f(r) cr r 令 g(x) f (x) cx x R,则当 x r Q 时， g (r) f (r) cr cr cr 0 且对任意的实数x, y, g(x y) f (x y) c(x y) f (x) f (y) cx cy g(x) g(y) 所以g(x)也满足方程式(1)。 对任意的实数x,取r (x b,x a) Q 贝 U x b r x a。 令x1 x r，贝U a x-i b (ie,x1 (a,b))， g(x) g(X1 r) g(xj g(r) g(xj 此即是说，对任意的x R，存在X1 (a,b)，使得g(x) g(xj 由假设条件知，f(x)在(a, b)内有界， g(x) f (x) cx 在(a,b)內有界 所以由严)知，g在整个实数上都有界。 又由(A)知 g(r) 0 r Q 若存在一个无理数xo，使得g(xo) d 0 贝U g(n?) ng(x°) nd , as n ，矛盾。 所以 g(x) 0 x R 因此，f(x) cx x R。 Example 3:设f (x)在某个足够小的区间(a,b)内是单调函数，求(1)的解？ 【解】 我们利用Example2的结果来证明f(x)在单调函数下(1)之解仍为 f (x) cx。 任取，a1,b1 (a,b)，使得a a1 D b。因为f(x)为单调函数 ，所以f(x) f(aj f(bi), x (a1,bi) 所以f(x)在(ai,bj)内有界；因此由例2可知f(x) ex § 2、几个重要的二元函数方程 在本节中所有的f (x)均假设是连续的。 (1)Example1 :设f (x)在R上是连续的且不恒等于 0，求出函数方程 f(x y) f (x)f (y) (1) 的解。 f(x1 f(x1 x2 Xn) f(xj f(X2) f (xn) 特别，取xix2xn x，则可得f(nx)f(x) n在上式中取x 1，可得f (n) 特别，取xi x2 xn x， 则可得 f(nx) f(x) n 在上式中取x 1，可得f (n) f(1)n 于⑴式中，取y 0，可得 f(x 0) f(x) f(x)f(0) 因为我们假设f (x)不恒为0，所以f (0) 1. 取x — m 在(2)式中, f(-) m n f(-) m f(x) f(0) 0. (m为正整数)，则可得 f(丄) m f(m) m 在(1)式中, 在(1)式中, 取 x —,y m 卫，则可得 m 1 f