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第35课时 解直角三角形;1.如图35-1,小颖利用有一个锐角是30°
的三角板测量一棵树的高度,已知她与
树之间的水平距离BE为5 m,AB为1.5 m
(即小颖的眼睛距地面的距离),那么这棵
树高是 ( );2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m,则他升高了 ( );3.如图35-2,AC是电线杆AB的一根拉线,
在点C测得A处的仰角是52°,BC=6 m,
则拉线AC的长为 ( );4.如图35-3,小惠家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,测得一水塔(图中点A处)在她家北偏东
60°方向600 m处,那么水塔所在位置到公
路的距离AB为 ( );一、必知1 知识点
解直角三角形应用的常用知识
仰角和俯角:
如图35-4,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做_________,视线在水平线下方的叫做________.; 坡度和坡角:
如图35-5,通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______,用字母i表示,把坡面与水平面的夹角叫做_______,记做α,于是i=____=tanα,显然,坡度越大,α角越大,坡面就越陡.; 方向角:
如图35-6,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.;二、必会2 方法
1.解直角三角形应用的基本图形
在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构造直角三角形,利用三角函数或相似三角形的知识来解决问题.常见的构造的基本图形有如下几种:
①如图35-7,不同地点看同一点:;②如图35-8,同一地点看不同点:
③如图35-9,利用反射构造相似:;2.数形结合思想
数形结合是重要的数学思想,解直角三角形的应用问题,需要充分运用数形结合思想.此类题型是中考的热点考题.;三、必明1 易错点
在解直角三角形的应用时,要注意以下几点:
(1)要弄清仰角、俯角、坡角、方向角等概念的意义;
(2)分析题意,画图并找出要求解的直角三角形,有些图形如果不是直角三角形,可以通过适当作辅助线构造直角三角形;
(3)选择合适的边角关系,使运算尽可能简便,并且不容易出错;
(4)按题目中已知数的精确度进行近似计算,并按题目要求确定答案,注明单位.;类型之一 利???解直角三角形测量物体的高度(或宽度)
[2015·义乌]如图35-10,从地面上的
点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶
端点P的仰角是45°,向前走6 m到达B
点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角
分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数;
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m).;解:(1)如答图,延长PQ交直线AB于点H,则PQ⊥AB.
在Rt△BPH中,∵∠BHP=90°,∠PBH
=60°,
∴∠BPQ=30°.
∴∠BPQ的度数是30°;
(2)设BH的长为x m.
在Rt△BPH中,
∵∠PBH=60°,;.;图35-11;2.[2015·达州]学习“利用三角函数测高”后,某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB,如图35-12,其测量步骤如下:;解:由题意得CF⊥BC,DG⊥BC,AB⊥BC,FH⊥AB,
∴四边形CFGD,CFHB,BDGH均为矩形,
∴GF=CD=288 m,BH=DG=CF=1.5 m,;.;【点悟】 解直角三角形时,若所求的元素不能在同一个直角三角形中求得,则可在两个及两个以上的直角三角形中,通过列方程解决问题.;类型之二 利用解直角三角形解决航海问题;例2答图;[2015·攀枝花]如图35-14,港口B位于港口O正西方向120 km处,小岛C位于港口O北偏西60°的方向.一艘游船从港口O出发,沿OA方向(北偏西30°)以v km/h的速度驶离港口O,同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C,在小岛C用1 h加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.
(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间?
(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h,求v的值及相遇处与港口O的距离.;图35-14;∴v=20或40,
∴当v=20 km/h时,OE=3×20=60 km,
当v=40 km/h时,OE=3×40=120 km.;【点悟】 求与三角形有关的实际问题,一般是转化为直角三角形或相似三角形或全等三角形来解,从各方位角中计算出角的大小,再直接利用直角三角形求实际距离.;类型之三 利用直角三角形解决坡度问题;.;[2015·十堰]如图35-16,小华站在河岸上的G点,看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时,测得小
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