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提高测试(二)
(一)选择题(每题 4 分,共 24 分)
1.设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①( a ·b ) c -( c ·a ) b = 0 ;
② | a |-|b |<|a - b |;
③( b ·c ) a -( c ·a ) b 不与 c 垂直;
2 2
④( 3 a +2 b ) ·(3 a -2 b )= 9| a | -4| b |
中,是真命题的有
(A )①② (B )②③ (C )③④ (D )②④
【提示】
对于②, |a |、|b |,|a - b |表示三角形的三条边长,可得 |a |- |b |<| a - b |,故②是正
确的,排除( C );对于④,利用向量的运算,可得④正确的.
【答案】(D ).
【点评】
本题考查平面向量中零向量、 共线向量、 向量的垂直、 向量的横等有关概念和向量的加、
减、与实数的积,数量积这些基本的运算及其运算性质.因为向量的数量积不满足结合律,
即( a ·b ) ·c ≠ a ·(b ·c ),故命题①是错误的;而对于 [ (b ·c ) a -( c ·a ) b ] ·c =
(b ·c ) a ·c -( c ·a ) b ·c =0 ,有( b ·c ) a -( c ·a ) b 与 c 是垂直的,故命题③
是错误的.
2.已知向量 e = [ 1, 0), e =( 0, 1),则与 2 e + e 垂直的向量是( ).
1 2 1 2
(A )2 e - e (B) e -2 e
1 2 1 2
(C)2 e + e (D) e +2 e
1 2 1 2
【提示一】
利用向量的坐标计算
∵ e =( 1,0 ), e =( 0 ,1),
1 2
测试题
∴ 2 e + e =( 2,1)
1 2
而 e -2 e =( 1,-2 )
1 2
有( 2 + )( -2 )= 2 ×1+(- 2)× 1=0,
e e e e
1 2 1 2
∴ (2 e + e )⊥( e -2 e ).
1 2 1 2
【提示二】
利用向量的运算
由已知,得 | |=1,| |=1, · =0 ,
e e e e
1 2 1 2
∴ (2 e + e )(e -2 e )= 2 e -3 e ·e -2 e =0 ,
1 2 1 2 1 1 2 2
∴ (2 e + e )⊥( e -2 e ).
1 2 1 2
【提示三】
利用向量的几何意义.由已知,可得 e 与 e 是互相垂直的单位向量.
1 2
如图,在直角坐标系中, 2 e + e = OP .
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