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§1.3 算法案例
课时目标 通过三种算法案例:辗转相除法与更相减损术,秦九韶算法,进位制,进
一步体会算法的思想,提高算法设计水平,体会中国古代数学对世界的贡献.
1.辗转相除法
(1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数 最大公约数的古老而有效
的算法.
(2)辗转相除法的算法步骤
第一步,给定两个正整数 m ,n.
第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r.
第三步,m =n ,n =r.
第四步,若 r =0 ,则m 、n 的最大公约数等于m ;否则,返回第二步.
2 .更相减损术
第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用 2 约简;若不是,
执行第二步.
第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小
数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数
乘积就是所求的最大公约数.
3 .秦九韶算法
n n -1
把一个 n 次多项式f (x) =a x +a x +…+a x +a 改写成如下形式:
n n -1 1 0
(…((a x +a )x +a )x +…+a )x +a ,
n n -1 n -2 1 0
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v =a x +a ,然后由
1 n n -1
内向外逐层计算一次多项式的值,即
v =v x +a ,
2 1 n -2
v =v x +a ,
3 2 n -3
…
v =v x +a
n n -1 0
这样,求 n 次多项式f (x) 的值就转化为求n 个一次多项式的值.
4 .进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满 k 进一”就是 k 进制,k 进
制的基数是 k.
把十进制转化为 k 进制数时,通常用除 k 取余法.
一、选择题
1.下列说法中正确的个数为( )
(1)辗转相除法也叫欧几里得算法;
(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数;
(3)求最大公约数的方法,除辗转相除法之外,没有其他方法;
(4)编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句.
A .1 B .2 C .3 D .4
答案 C
解析 (1)、(2)、(4)正确,(3)错误.
2 .用更相减损术求294 和 84 的最大公约数时,需做减法的次数是( )
A .2 B .3 C .4 D .5
答案 C
解析 由于294 和84 都是偶数,
所以用2 约简:
294÷2 =147,
84÷2=42,
又由于147 不是偶数,
所以147-42 =105,
105-42 =63,
63 -42 =21,
42 -21 =21,
故需做4 次减法,故选 C.
3 .1 037 和 425 的最大公约数是( )
A .51 B .17 C .9 D .3
答案 B
解析 ∵1 037 =425 ×2 +187,
425 =187×2 +51,
187=51 ×3 +34,
51 =34 ×1+17,
34 =17×2,
即1 037 和425 的最大公约数是17.
6 5 4 3 2
4 .用秦九韶算法计算多项式f (x) =6x +5x +4x +3x +2x +x +7 在 x =0.4 时的值时,
需做加法和乘法的次数的和为( )
A .10 B .9 C .12 D .8
答案 C
解析 f (x) =(((((6x +5)x +4)x +3)x +2)x +1)x +7
∴加法6 次,乘法6 次,
∴6 +6 =12(次),故选 C.
5 3 2
5 .已
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