《复变函数与积分变换第三版答案.docx

1.1计算下列各式. (1 + i)-(3-2i)； 解 (l + i)-(3~2i) = (I + i)-3 + 2i=-2 + 3i? (a - 6i)3; 解 (a — 6i)3 — — 3a2bi + 3a ( bi)2 — (Z>i)3 =a3 - 3ab2 + i(Z>3 — 3a2b). ■ ⑶(i - DG - 2); 韶 i _ i. _ i 瞬 (i- 1)(1-2) = i2 - 2i - i + 2 = 1 - 3i =i(l + 3i)=二 + 丄 - 10 _ 10 10' (4) : + ； ( r = x + vy 工- 1); 畝 n _ 1 _ 乂 十 iy — 1 = (乂 亠 1 十 工十 1 — iy) z 十 1一乂 十⑹十 (jt + 1)2 +，2 =H + $2 一 1 + 2iy(乂十1尸十脊 12 证明下列关于共钝复薮的运算性质： ⑴(ZL 土 Z2) = Z\ ± Z2； 证 (Z1 ± z2) -(X1 + i^l) ± (x2 十 iy2) =(口 ± 工2〉+ 心】土，2)=(工1 土 工2)- 心1 土，2) =工丄一 i“ ±工2不i，2二乏1 士乏2? 24 ? Z2 =乏1 ? Z2； 证 6 ? Z2 =(Xi + 计［)(工2 + 1>2) =(工22 - yiy2)+ 心5 + 力工2) =工口2 一 34歹2 一 i(无1,2 +力工2〉? 艺1 ?乏2 =(工1 + i，l)(工2 + i，2〉-(工1 一 iyi)(^2 一 &2) (3)=工口2 - 5工2 - 5,2 - (3) =工口2 - 5工2 - 5,2 -》1夕2? 即左边=右边，得证. 证 （工1 一 血1）（乂2 + 血2） （疋1 - bl）（於 + 3^2） 7^+2222工］_ P1 _ ￡1 7^+ 22 22 工］_ P1 _ ￡1 ]2zt 一 乂2 二 ]2zt 一 乂2 二 i， 13解方程组{（】+%+% 叼一力一 yi +工2 +划 力=一辛，yi - 5’ 一弓，孔=书 = 4-3i. 解所给方程组可写为 （2^（ + 2iyi - 孔 - i，2 = i, 1（1 + i）（工 1 + 讷）+ i（戈 2 + 计2）= 4 — 3i. 即 』2工]-龙2 + i（2y - $2）= i， 1^1 一力一力 + i（$i + 丄2 十力）=4 一 3i. 利用复数相等的概念可知 2xi 一 巧=0, 2力-力=1, =4, =一 3? 解得 6 17.5 "J 6 17. 5 "J1- 5° 1.4 将直线方程ax + by + c = 0 （左十沪工°）写成复数形式. [提不：记z十iy = z?] 解 th X =宁，，二社主代入直线方程，得号（土 + 乏）+ 备（z 一乏）+ c =0,az az - b\{z - z） 2c =0, （a — ib）z + （a +ib）乏 + 2c =0, 故 Xz + /U + ” = a = a + = 2c ? 1.5 将圆周方程a （工2 + y2）?氐；+ q + ￡ = o（ Q ho）写成复 数形式（即用乂与乞表示?其中N =上卜iv）, 解 把才二三壬互，＞'二”]*，工彳+，鼻=工?乏代入圆周方稈, 得 CLZ ■乏’十刍（N + 乏）十去（Z — Z ） ■+■ cl. — 0 , 2az ?乏 + （& — ic）z 十（b 卜"）乏 + 2d =0. Az ?乏十 13之十 Biz + C = 0. 其屮 A = 2a 5 * ic,C = 2M. 16 求F列复数的棋与辐角主值. (1 ) /3 + i ； 7t解 |+ i | = { (/3〉2 + I2 =石=2, 7t arg(73 十 i) =arctan — v 3 I - 1 - il = V (- l)2 + (- I)2 = 7t?arg(~ 1 — i) — arctan — or = 7t? (3)解( (3) 解 (4) I 2 - i | = a/22 + (- 1>2 = J5, ary (2 — i) — arctan =- arcfan . 1十3i? 解 | 一 1 十 3i) = J〈一 lF 十 32 = /JO, 3 arg( — 1 十 3i) = arcran + 兀 = 兀—arc tan 3. 1-7 证明下列各式： | - ^212 = 13 F + I 引卜 一 2Re(zi ?壬2)； 证 I Zl 一 Gp 二(引 一 22)(Z[-辺) -(Z\ - ◎)(可一巨2) 二 Z]? Z1 + Z2 ?更2 _ ^1 _ z^2 =引 2 + 2-（引刼+ 2忆