《数学物理方程02_线性偏微分方程的分类【OK】》.ppt

数学物理方程02_线性偏微分方程的分类【OK】 2.1 偏微分方程的基本概念 自变量 未知函数 偏微分方程的一般形式 数学物理方程 PDE的阶： PDE的解 古典解 广义解 一些概念: 是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有m阶连续偏导数。 线性PDE 非线性PDE 半线性PDE 拟线性PDE 完全非线性PDE 数学物理方程 线性PDE： PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如： 常系数线性PDE: 不然称为变系数的． 齐次线性PDE: 不然称为非齐次的． 线性PDE的主部: 具有最高阶数偏导数组成的部分。 主部 数学物理方程 PDE中对最高阶导数是线性的。例如： 半线性PDE： 完全非线性PDE： PDE中对最高阶导数不是线性的。 拟线性PDE： 拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如： 数学物理方程 举例（未知函数为二元函数） 1. 2. 变换 解为： 解为： 数学物理方程 举例（未知函数为二元函数） 4. 3. 解为： 变换 解为： 数学物理方程 5. 不易找出其通解，但还是可以找出一些特解 任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。 也是解 6. 特解都不易找到 KDV方程 数学物理方程 举例（未知函数为二元函数） 其中 7. 拟线性PDE 8. 拟线性PDE 9. 半线性PDE 10. 半线性PDE 11. 完全非线性PDE 数学物理方程 举例（未知函数为二元函数） 拉普拉斯(Laplace)方程 热传导方程 波动方程 数学物理方程 举例（未知函数为多元函数） 2.2 二阶线性偏微分方程的分类 两个自变量，齐次 主部 目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。 非奇异 （1） 数学物理方程 复合求导 数学物理方程 系数之间的关系 （2） （1） （3） 数学物理方程 其他系数之间的关系 （3*） 数学物理方程 考虑 如若能找到两个相互独立的解 那么就作变换 从而有 （4） 数学物理方程 假设 是方程 的特解，则关系式 是常微分方程 （4） （5） 的一般积分。反之亦然。 引理 由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。 数学物理方程 定义 称常微分方程（5）为PDE（1）的 特征方程。 称（5）的积分曲线为PDE（1）的 特征曲线。 （6） 数学物理方程 记 定义 方程(1)在点 M 处是 双曲型： 椭圆型： 抛物型： 若在点M处，有 若在点M处，有 若在点M处，有 数学物理方程 双曲型PDE 右端为两相异的实函数 它们的一般积分为 由此令 ，方程（1）可改写为 双曲型方程的第一标准型 双曲型方程的第二标准型 数学物理方程 抛物型PDE 由此得到一般积分为 由此令 其中, 为独立的任意函数。 数学物理方程 由于 由此推出 数学物理方程 因此，方程（1）可改写为 抛物型方程的标准型 而 数学物理方程 椭圆型PDE 右端为两相异的复数 由此推出两族复数积分曲线为 其中 数学物理方程 由此令 从而方程（1）可改写为 ， 满足方程（4） 椭圆型方程的标准型 数学物理方程 例1 抛物型方程 令 数学物理方程 例2 双曲型方程 数学物理方程 例3 Tricomi方程 椭圆型 双曲型 抛物型 数学物理方程 数学物理方程 本章综合习题 1、确定下列各方程为双曲线型、抛物型或椭圆型的范围，并在相应的区域中化方程为标准形式： 数学物理方程 2、求出下列各方程的通解，并代回原方程来检验是否有解： （c为常数） （c为常数） 数学物理方程 3、求下列方程的特征线，并化方程为标准形式： 数学物理方程