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勾股定理及直角三角形的判定 知识要点分析 1、勾股定理 2 2 2 如果直角三角形两直角边分别为 a、b ，斜边为 c ，那么一定 a +b =c ，即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方。 2 、勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。我们也可将勾股定理理解为：以两条直 角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。因此，证明勾股定理的关键是想办法 把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。另外，用拼图的方法， 并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。 2 2 2 3、如果三角形的三条边 a、b 、c 有关系：a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它 与勾股定理的条件和结论正好相反）。其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条 边长的情况下。我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角 形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。 4 、勾股数 2 2 2 满足条件 a +b =c 的三个正整数a、b 、c 称为勾股数。 友情提示：（1）3，4 ，5 是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2 ）每 组勾股数的相同倍数也是勾股数。 【典型例题】 考点一：勾股定理 例 1：在△ABC 中，∠C=90 °， （1）若a=3 ，b=4 ，则c=__________ ； （2 ）若a=6 ，c=10 ，则b=__________ ； （3 ）若c=34 ，a ：b=8 ：15，则a=________ ，b=_________. 例 2 ：已知三角形的两边长分别是3、4 ，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。 解： 考点二：勾股定理的验证 例 3 ：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a 和 b ，斜边长为c ，图（2 ） 是以 c 为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。 （2 ）用这个图形证明勾股定理。 （3 ）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理 的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明） 【思路分析】将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积 相等即可验证勾股定理。 解： （1）如下图。直角梯形 （2 ） （3 ）用4 个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。 考点三：直角三角形的判别条件 2 2 2 2 例 4 ：已知△ABC 中，a=m －n ，b=2mn ，c=m +n ，其中m ，n 是正整数，且 m ＞n ，试判断△ABC 是否为直角 三角形? 【思路分析】本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形. 解： 例 5：如图，已知AB=4 ，BC=12 ，CD=13 ，DA=3 ，AB ⊥AD ，说明BC ⊥BD. B C A D 解： 2 2 2 例 6：若△ABC 的三边长a、b 、c 满足条件 a +b +c +200=12a+16b+20c ，试判断△ABC 的形状。 【思路分析】欲判断△ABC 的形状，先将条件中的等式变形，求出a、b 、c 的值，然后确定a、b 、c 的关系， 从而判断出△ABC 的形状。 考点四：勾股数的考查