2、圆内接四边形性质定理.docxVIP

圆内接四边形性质定理证明： A Q 如右图：圆内接四边形 ABCD,圆心为0,延长BC至E, AC BD交于P,则： p 一、 圆内接四边形的对角互补：/ ABC+Z ADC=180，/ BCD+Z BAD=180 .0 二、 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：/ DCE=Z BAD 三、 圆内接四边形对应三角形相似： △ BCaA ADP 7C 四、 相交弦定理： AP^ CP=BX DP — 五、 托勒密定理： ABX CD+A区CB=A@ BD 一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法） 【证明】方法一： 利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。 ?/ a+3=360 ° 1 ? Z A+Z C=1 X 360° =180° 2 同理得Z B+Z D=180° （也可利用四边形内角和等于 360°） 1 1 如图，连接OB、0D则Z人=丄3, Z。=丄a 2 2 【证明】方法二： 利用直径所对应的圆周角为直角。 设圆内接四边形ABCD 证明：Z A+Z C=180 , Z B+Z D=180 利用四边形内角和为 360。及同弧所对的圆周角均相等 连接B0并延长，交O 0于E。连接AE、C吕 则BE为O 0的直径 ???Z BAE=Z BCE=90 ???Z BAE+Z BCE=180 Z BAE+Z BCEZ DAE+Z DAE=180 即 Z BAE-Z DAE+Z BCE+Z DAE=180 ???Z DAE=Z DCE （同弧所对的圆周角相等） Z BAE-Z DAE+Z BCE+Z DCE=180 即 Z BAD+Z BCD=180 Z A+Z C=180 Z B+Z D=360 -（Z A+Z C） =180 ° （四边形内角和等于 360°） 连接AC BD,将Z A、Z BZ CZ D分为八个角 Z 1、Z 2、Z 3、Z 4、Z 5、Z 6、Z 7、Z 8 Z 1 + Z 2+Z 3+Z 4+Z 5+Z 6+Z 7+Z 8=360（四边形内角 和为360°） Z 4=Z 1,Z 7=Z 2,Z 8=Z 5, Z 3=Z 6 （同弧所对的圆周角相等） 1 Z 1 + Z 2+Z 5+Z 6= X 360 ° =180° 2 Z 1 + Z 2=Z A Z 5+Z 6=Z C Z A+Z C=180° Z B+Z D=360- （Z A+Z C） =180° （四边形内角和等于 360° 【证明】方法三: 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明 如图，求证：Z DCE=Z BAD Z BCD+Z DCE=180°（平角为 180° ） Z BCD+Z BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ? Z DCE=/ BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似 如上图，求证： △ BCP^A ADP, △ ABP^A DCP ?// BAP=/ CDP, / ABP=/ DCP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。） 又???/ APB=/ DPC （对顶角相等） 证明：???/ CBP=/ DAP, / BCP玄 ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又???/ APD=/ BPC （对顶角相等）???△ BCaA ADP四、相交弦定理四边形仍用上图，求证： APX CP=B DP证明：???△ BCaA 证明： ???/ CBP=/ DAP, / BCP玄 ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。） 又???/ APD=/ BPC （对顶角相等） ???△ BCaA ADP 四、 相交弦定理 四边形 仍用上图，求证： APX CP=B DP 证明： ???△ BCaA ADP （圆内接四边形对应三角形相似） ? AP =DP （相似三角形的三边对应成比例） BP 五、 托勒密定理 ABCD内接于圆 0,那么 ABCD+AD8C=ACBD 作辅助线 AE使/ BAE=/ CAD交BD于点 ???/ ABE=Z ACD(同弧AD所对的圆周角相等) 又???/ BAE玄 CAD △ ABE^A ACD AB _BE，即 ABCD=ACBE (1) AC -CD- ?// BAE=Z CAD / BAE+Z EAC=Z CAD/ EAC 即/ BAC=/ EAD 又???/ ACBZ ADE(同弧AB所对的圆周角相等) B 0 C △ AB(S^ AED BC _AC，即 BC\D=ACDE (2) ■DE (1)+(2),得 ABCD+BCAD=ACBE+ACDE=AC( BE+DE =AOBD 利用西姆松定理证明托勒密定理。 不能求证。 【证明】方法二: （提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还 广义托勒密定理 广义托勒密（Ptolemy）定理指出，圆内接