范德蒙行列式在行列式计算中的应用1.pdfVIP

中国科教创新导刊2008 NO.17 China Education Innovation Herald 理 论 前 沿 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 牛海军 (铁岭师范高等专科学校 辽宁铁岭 112001) 摘 要:范德蒙(Vandermonde)行列式是一种重要的行列式,在行列式的计算中可以把一些特殊的或类似于范德蒙行列式的行列式转化为 范德蒙行列式,本文通过一些例题来阐述这些方法。 关键词:范德蒙行列式 行列式的性质 中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2008)06(b)-0140-01 范德蒙德行列式的标准形式为: 故 2利用行列式的性质转化为范德蒙行列 式 例2:计算 阶行列式 对D:进行例2中的行的交换就得到范德 2 蒙行列式,于是 即n阶范德蒙行列式等于 这 个数的所有可能的差的乘积。根据范德蒙 德行列式的特点,可以将所给行列式化为范德 蒙德行列式,然后利用其结果计算。常见的方 法有以下几种。 1利用加边法转化为范德蒙行列式 分析:该行列式的排列规律与范德蒙行列 例1:计算n阶行列式 式的排列规律正好相反,为使 中各列元 素的方幂次数自上而下递升排列,可以将第 行依次与上行交换自至第1行,第 行依 次与上行交换自至第2行,……,第2行依次与 上行交换自至第 行,于是共经过 次行的交换 得到 阶范德蒙德行列式。 解: 分析:行列式 与范德蒙行列式比较少了 只要熟悉了范德蒙行列式适用的形式和 一个 ,故可利用加边的方法 使用技巧,就可以很好地应用范德蒙行列式计 算有关的行列式了。 在第 行与第 行之间加上含有 的行,再加上相应的一列1,, …, 参考文献 则利用行列式的展开式中 的系数可得 [1]毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].武 汉:湖南大学出版社. 行列式 的解。 [2]张和瑞,郝邴新.高等代数[M].北京:高等 解:考虑 阶范德蒙行列式: 教育出版社. 3利用乘法规则转化为范德蒙行列式 例3:计算行列式 由于行列式 恰好是行列式 的元素 分析:此行列式中每一个元素都可以利用 二项式定理展开,可以变成乘积的和。根据行