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中档题目强化练——三角函数、解三角形
A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
一、填空题
1.已知角A是△ABC的一个内角,若sin A+cos A=eq \f(7,13),则tan A=________.
答案 -eq \f(12,5)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin A+cos A=\f(7,13),,sin2A+cos2A=1,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin A=\f(12,13),,cos A=-\f(5,13)))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin A=-\f(5,13),,cos A=\f(12,13)))(舍去),∴tan A=-eq \f(12,5).
2.函数y=3cos(x+φ)+2(0φπ)的图象关于直线x=eq \f(π,4)对称,则φ=________.
答案 eq \f(3π,4)
解析 ∵y=cos x+2的对称轴为x=kπ(k∈Z),
∴x+φ=kπ(k∈Z),即x=kπ-φ(k∈Z),令eq \f(π,4)=kπ-φ(k∈Z)得φ=kπ-eq \f(π,4)(k∈Z),又φ∈(0,π),故φ=eq \f(3π,4).
3.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω0)的图象关于直线x=eq \f(π,12)对称,且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))=0,则ω的最小值为________.
答案 2
解析 由题意知ω·eq \f(π,12)+φ=k1π,ω·eq \f(π,3)+φ=k2π+eq \f(π,2),
其中k1,k2∈Z,两式相减可得ω=4(k2-k1)+2,
又ω0,易知ω的最小值为2.
4.设函数f(x)=cos(ωx+φ)-eq \r(3)sin(ωx+φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω1,|φ|\f(π,2))),且其图象相邻的两条对称轴为x1=0,x2=eq \f(π,2),则y=f(x)的最小正周期为________,且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上为________函数.(填“增”“减”)
答案 π 减
解析 由已知条件得f(x)=2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+φ+\f(π,3))),
由题意得eq \f(T,2)=eq \f(π,2),∴T=π.∴T=eq \f(2π,ω),∴ω=2.
又∵f(0)=2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ+\f(π,3))),x=0为f(x)的对称轴,
∴f(0)=2或-2,又∵|φ|eq \f(π,2),∴φ=-eq \f(π,3),
此时f(x)=2cos 2x,在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上为减函数.
5.已知函数f(x)=eq \r(3)sin 2x+cos 2x-m在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上有两个零点,则m的取值范围是________.
答案 [1,2)
解析 利用三角函数公式转化一下,得f(x)=2sin(2x+eq \f(π,6))-m,
它的零点是函数y1=2sin(2x+eq \f(π,6))和y2=m的交点所对应的x的值,
∴要在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上有两个零点,y1和y2就要有两个交点,
结合函数y1=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的图象,
知道当y2=m在[1,2)上移动时,两个函数有两个交点.
6.已知△ABC的面积为eq \f(\r(3),2),AC=eq \r(3),∠ABC=eq \f(π,3),则△ABC的周长等于________.
答案 3+eq \r(3)
解析 S=eq \f(1,2)acsin∠ABC=eq \f(\r(3),2),得ac=2; ①
根据余弦定理cos∠ABC=eq \f(a2+c2-b2,2ac),得a2+c2=5. ②
由①②可求得a+c=3,则三角形周长可求.
7.函数y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))的对称中心为________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,12)+\f(kπ,4),0
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