学习课件2.6 矩阵的逆及其求法.ppt

* 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 一、逆矩阵的概念 二、方阵可逆的判别定理 第六节 矩阵逆及其求法 第二章 三、逆矩阵的基本性质 四、用矩阵的初等变换求逆矩阵 .新. * 设 n 元线性方程组 线性方程组的矩阵表示法 （2） .新. * 则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题， 而后者即求 中未知矩阵X的问题。 这需要用到 逆矩阵的问题。 代数方程 的解 问矩阵方程 的解是否为 ? 若可以，那么 的含义是什么呢？ .新. * 定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E . 则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作 又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵 . 例 设 因为 AB = BA = E . 所以 B 是 A 的一个逆矩阵。 一、逆矩阵的概念 .新. * 若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 . 证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 有 AB = BA = E，AC = CA = E， B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C . 所以逆矩阵唯一. 单位矩阵的逆为其本身。 对角矩阵的逆为（如果它可逆的话） .新. * 方阵的可逆满足性质： (3) A、B 均是同阶可逆阵，则 (3) (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1 = E. (4) AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E, 证明 只证 (3) 和 (4) . .新. * 矩阵可逆的条件： 设 矩阵 中元素 aij 的代数余子式 Aij ， 定义 称为 A 的伴随矩阵. .新. * 例 2.16 求二阶方阵 的伴随矩阵. 解 所以 .新. * 定理2.1 证明： 由第一章行列式展开定理及其推论知 类似有 .新. * 定理2. 2　矩阵 A 可逆充分必要条件是 且当 时， 证明： 必要性． 设 A 可逆， 于是有 两边取行列式有， 因此 充分性． 设 由定理 2.1 知 故有 .新. * 由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为 定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 . A可逆 A是非奇异矩阵 A是满秩矩阵 .新. * 逆矩阵的求法一：伴随矩阵法 例 2.15 设 判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵 . 解 因为 故 A 可逆， 且 .新. * 推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 证明 因为 故 于是 A、B 均可逆 . .新. * 例 2.17 求解线性方程组 解 方法一 ( Cramer 法则 ) 由于 于是有 .新. * 方法二 ( 逆阵法 ) 因为方程可写成矩阵形式 Ax = b，其中 由于 故 A 可逆， 因此 其中 .新. * 于是 .新. * 利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量 个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式 法 ) ，但对于 n 较大时，两种方法都不适用 .我们将 在余下的章节讨论第三种方法 . .新. * 例 2.18 设 求 A + B . 解 由于 AB = A + B ，于是 ( A – E ) B = A , 又 于是 而 .新. * 所以 故 .新. * 例 2.19 设 A 为 3 阶矩阵，且 求 解 由于 于是 .新. * 解： 例6 .新. * 二、逆矩阵求解方法二——初等变换法 初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了 充分发挥其作用， 有必要对它进一步探讨。 定理3 A可逆 方法 ： 求 .新. * 例7 求下列矩阵的逆矩阵 解 ： .新. * .新. * 解 2 不存在。 .新. * 设A、B为n 阶方阵，且A可逆，则 （A|B） (E|A-1B) 定理3 .新. * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新最全 * 最新