初中数学竞赛标准教程及练习01：数的整除(一).doc

初 中数学竞赛精品标准教程及练习 (1) 数的整除（一） 一、内容提要： 如果整数 A 除以整数 B(B ≠ 0)所得的商 A/B 是整数 ,那么叫做 A 被 B 整除 . 0 能被所有 非零的整数整除 . 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除 3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除 (如 771， 54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减 ,其差能被 11 整除 11 (如 143,1859,1287,908270 等 ) 7,11,13 从右向左每三位为一段 ,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减, 其差能被 7 或 11 或 13 整除 .(如 1001， 22743，17567， 21281 等 ) 能被 7 整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的 2 倍 ③其差能被 7 整除。 1001100－ 2＝ 98（能被 7 整除） 又如 7007 700－ 14＝686， 68－ 12＝56（能被 7 整除） 能被 11 整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被 11 整除 1001100－ 1＝99（能 11 整除） 又如 10285 1028 － 5＝1023 102－ 3＝99（能 11 整除） 二、例题 1 已知两个三位数 328和 2x9 的和仍是三位数 5y7 且能被 9 整除。 x,y 解： x,y 都是 0 到 9 的整数，∵ 5y7 能被 9 整除，∴ y=6. 328＋ 2x9 ＝ 567，∴ x=3 例 2 己知五位数  1234x 能被  12 整除，  求  X 解：∵五位数能被 12  整除，必然同时能被  3 和 4 整除， 当 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ X 能被 3 整除时， x=2， 5，8 当末两位 4X 能被 4 整除时， X ＝0， 4， 8 X ＝8 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（ 1＋ 2＋ 4）－（ 0＋ 3）＝ 4，不能被 11 整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为 30， 41， 52， 63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是 10263。 三、练习 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ① 593 ② 1859 ③ 1287 ④3276 ⑤10101 ⑥ 10296 2 若四位数 987a 能被 3 整除，那么 a=_______________ 3 若五位数 12X 34 能被 11 整除，那么 X ＝ __________- 4 当 m=_________ 时， 35m5 能被 25 整除 5 当 n=__________时， 9610n 能被 7 整除 6 能被 11 整除的最小五位数是 ________,最大五位数是 _________ 7 能被 4 整除的最大四位数是 ____________ ，能被 8 整除的最小四位数是 _________ 8 个数：① 125，② 756，③ 1011，④ 2457，⑤ 7855，⑥ 8104，⑦ 9152 ，⑧ 70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号） ： 6________,8__________,9_________,11__________ 9 从 1 到 100 这 100 个自然数中，能同时被 2 和 3 整除的共 _____个， 能被 3 整除但不是 5 的倍数的共 ______ 个。 10 由 1，2，3， 4， 5 这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被 3 整除 的数共有几个？为什么？ 己知五位数 1234A 能被 15 整除，试求 A 的值。 求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13 在十进制中，各位数码是 0 或 1，并能被 225 整除的最小正整数是＿＿＿＿（ 年全国初中联赛题）  1989 练习参考答案： 1. ④ 2 2 ×7×3 ⑤ 3× 7× 13×37 ⑥ 3 2 ×11× 13 2 × 3 2 × 3 2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2， 7 5. 3 6. 10010，9990 7. 9996，9992 8. 6：B 8：F，G 9： B， D 11： G， H 16；27 没有一个，∵ 1＋2＋ 3＋ 4＋ 5＝ 15 是 3 的倍数，与数字的位置无关 仿例 2，a＝5 10269（由最小五位数 10234 调换末两位数） 11111111100