解方程的十五种技巧（完整版）.doc

快乐学习，尽在中小学教育网 解方程（组）的十五种技巧 王永会 在数学竞赛中，常遇到一些特殊形式的方程，它们结构巧妙而富有规律性，解题时应仔细的观察题目的特点，联想一些解题方法和技巧，寻找简捷的解法。 一、利用裂项 例1. 解方程 分析：若把每项展开求解，将会带来繁杂的运算，但是我们仔细观察发现，左边两底数之和正好等于右边底数，因此可用拆项的方法求解。 解：原方程可化为 由于 故有 解得： 二、利用方差公式 例2. 解方程 分析：方程含有四个无理数，平方是不可能的，因此我们可以用方差的性质：当S＝0时，。 解：因为 所以 所以解得，经检验是方程的解。 三、利用放缩性 例3. 解方程 解：显然是方程的一个解。 当时， 左边＞右边，这时方程无实根，因此方程的根为x＝0。 四、利用对称性 例4. 解方程 分析：观察特点，发现方程中各项系数关于中间项对称。 解：由方程可知，则原方程变化为： 即 所以 由得： 解得： 由得： 解得： 所以原方程的解为：， 五、三角函数法 例5. 解方程 解：设 则两式相减，得： 所以，解得： 所以 即 解这个方程，得： 经检验都是方程的解。 六、配方法 例6. 解方程 解：原方程可变为 配方得： 再利用非负性得： 从而求出 七、构造法 例7. 解方程 解：由题意知，由原方程得： 因为 2÷1得： 1＋3得： 解这个方程得： 经检验是方程的解。 八、利用判别式 例8. 求方程的实数解。 解：视y为常数，整理成关于x的一元二次方程 因为x，y为实数，所以 则只有解得： 将代入原方程整理得：，得 故原方程的实数解是。 说明：解二次方程时，若未知数的个数多余方程的个数时，常用此法。 九、利用韦达定理 例9. 解方程 解：原方程可变形为 又 由12两式及韦达定理可知是方程的两根，解得。 所以或分别解得： 经检验它们都是方程的根。 十、换元法 例10. 解方程 解：原方程等价于 设 将代入1得： 解得：（舍去） 则，解得： 十一、增元法 例11. 解方程 解：设，则 所以 1＋2×2整理得： 解得：或 所以或 解第一个方程组无解，第二方程组的解为，经检验它们都是方程的根。 十二、倒数代换法 例12. 解方程 解：设，则 两式相减，得： 所以 解这个方程，得： 所以或 解第一个方程得： 第二个方程无实数根。 所以原方程的根是 十三、利用轮换式性质 例13. 解方程组 分析：此式是轮换式，所以解必然相等。 解：则有 所以 解得： 则有 经检验知方程组的解为。 十四、引入参数法 例14. 解方程组 解：原方程组可变为 令，那么有 解得： 所以，即 由得： 经检验知方程组的解为：。 十五、利用取倒数 例15. 解方程组 解：对方程两边取倒数得 由1＋2＋3得： 4－3得： 4－2得： 4－1得： 经检验方程组的解为。