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专题二：立体几何 - - 线面垂直、面面垂直 -------------------------------------------------------------------------- 作者 : _____________ -------------------------------------------------------------------------- 日期 : _____________ 专题二：立体几何 --- 线面垂直、面面垂直 一、知识点 （ 1）线面垂直性质定理 （ 2）线面垂直判定定理 （ 3）面面垂直性质定理 （ 2）面面垂直判定定理 线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1．如图 1，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 CC1 的中点， AC 交 BD 于点 O，求 证： A1O 平面 MBD ． 证明：连结 MO， A1M ，∵ DB⊥ A1 A ， DB⊥ AC， A1 A I AC A ， A ACC ，而 AO 平面 A ACC 1 ∴ DB⊥ A O ． ∴ DB⊥平面 11 1 1 1 设正方体棱长为 a ，则 A1O 2 3 a 2 ， MO 2 3 a 2 ． 2 4 在 Rt△ A1C1M 中， A1M 2 9 a2 ．∵ A1O 2 MO 2 A1 M 2 ，∴ 4 AO OM ． ∵OM∩ DB=O，∴ A O ⊥平面 MBD ． 1 1 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过 计算来证明． 利用面面垂直寻求线面垂直 2．如图 2， P 是△ ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥平面 ABC，平面 PAC ⊥平面 PBC．求证： BC⊥平面 PAC． 证明：在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D． 因为平面 PAC⊥平面 PBC，且两平面交于 PC， AD 平面 PAC，且 AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得 AD⊥平面 PBC． 又∵ BC 平面 PBC，∴ AD⊥ BC． ∵PA⊥平面 ABC， BC 平面 ABC，∴ PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴ BC⊥平面 PAC． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直 线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到 线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通 过本题可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直． 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 判定 线面垂直 判定 为：线线垂直 面面垂直．这三者之间的关系非常密 性质 性质 切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定 理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． ．如图１所示， ABCD为正方形， SA⊥平面 ABCD，过 A 且垂直于 SC 的平面分 3 别交 SB， SC，SD 于 E， F， G ．求证： AE ， SD ． SB AG 证明：∵ SA 平面 ABCD， ∴ SA BC ．∵ AB BC ，∴ BC 平面 SAB．又∵ AE 平面 SAB，∴ BC AE ．∵ SC 平面 AEFG，∴ SC AE ．∴ AE 平面 SBC．∴ AE ．同理可证 AG SD ． SB 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的 转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征， 从而顺利实现证明所需要的转化． 4．如图２，在三棱锥 Ａ－BCD中， BC＝AC， AD＝BD， 作 BE⊥ CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥BE于Ｈ．求证： AH⊥平面 BCD． 证明：取 AB的中点Ｆ，连结 CF， DF． ∵ AC BC ，∴ CF AB ． ∵ AD BD ，∴ DF AB ． 又 CF I DF F ，∴ AB 平面 CDF． ∵ CD 平面 CDF，∴ CD AB ． 又 CD BE ， BE I AB B ， CD 平面 ABE， CD AH ． ∵ AH CD ， AH BE ， CD I BE E ， ∴ AH 平面 BCD． 评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂 直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论． 5．如图３， AB 是圆Ｏ的直径， Ｃ是圆周上一点， PA 平面 ABC．若 AE⊥ PC ，Ｅ为垂足， Ｆ是 PB上任意一点，求证：平面 AEF⊥平面 PBC． 证明：∵ AB是圆Ｏ的直径，∴ AC BC ． ∵ PA 平面 ABC， BC 平面 ABC， ∴ PA BC ．∴ BC