二次函数与直线一元二次方程的关系.docx

次函数与直线、一元二次方程的关系 、二次函数与直线的关系 抛物线y ax2 bx c与y轴的交点是0,c ; 抛物线y ax2 bx c与x轴的交点，因为x轴上的点的纵坐标都为 0, 所以令y 0，代入得ax2 bx c 0，解这个一元二次方程得x b 〃 4託，所 2a 以抛物线与x轴的交点坐标是 b 4ac,0和b怡4acQ ； 2a 2a —次函数y kx b k 0的图象与二次函数 y ax2 bx c a 0的图象 的交点的个数，由方程组 y kx2 b 的解的数目确定： y ax bx c 方程组有两组不同的解 两函数图象有两个交点； 方程组只有一组解 两函数图象只有一个交点； 方程组无解 两函数图象没有交点。 例1、已知：抛物线的解析式为 y x2 2m 1 x m2 m。 求证：此抛物线与 x轴必有两个不同的交点； 若此抛物线与直线 y x 3m 4的一个交点在 y轴上，求m的值。 2 变式1-1、在直角坐标平面中， O为坐标原点，二次函数 y x k 1 x 4的图象与y轴交于点 A， 与x轴的负半轴交于点 与x轴的负半轴交于点 B，且S OAB 求点A与点B的坐标; 求此二次函数的解析式； 如果点P在x轴上，且 ABP是等腰三角形，求点 P的坐标 二、二次函数与一元二次方程的关系 方程ax2 bx c 0的两个实数根为为、x2，与x轴的交点为A、B，如下表: 判别式的情况 抛物线y ax2 bx c 与x轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 一次方程 ax2 bx c 0的实根 有两个不相等的实 根石、x2, AB \\ x2 有两个相等的实 根 x! x2 无实根 例2、( 2011?潍坊)已知一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的两个实数根x1 x2满足x1 x2 4 3，那么二次函数 y ax2 bx c a0的图象有可能是()。变式2-1(2011?呼和浩特)已知一元二次方程x2bx 3 3，那么二次函数 y ax2 bx c a 0的图象有可能是()。 变式2-1 (2011?呼和浩特) 已知一元二次方程x2 bx 3 0的一根为3，在二次函数 2 y x bx 3的图象上有三点 4 5，y1、 5 1 4，y2、6，y3 ，则y「y2、y3的大小关系是。 (2)k为何值时，抛物线与 x轴的两个交点分别在原点的两侧？ 变式4-1、已知抛物线 y x2 mx m 5。 求证：不论 m为何实数，抛物线与 x轴都有两个不同的交点？ 当m为何值时，抛物线与 x轴的交点分另【J都在原点左侧？ 当m为何值时，抛物线与 x轴的交点分别在 1,0两侧？ 例5、已知二次函数 y ax2 bx c的图象经过点 2, 3，对称轴是直线 x 2，在x轴上截得的 线段长为2.10，求这个二次函数的解析式。 变式5-1、已知二次函数y ax2 bx c的顶点为1, 4，且抛物线在x轴上截得的线段长为 4，求 抛物线的解析式。 变式5-2、如图，二次函数的图象经过点D 0, — J3 变式5-2、如图，二次函数的图象经过点 D 0, — J3 ,且顶点C的 9 横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段 AB的长为6. (1)求二次函数的解析式; (2)在该抛物线的对称轴上找一点 P，使PA PD最小，求岀点P 的坐标 例6、关于x的一元二次方程 m21x22m2x1 0 当m为何值时，方程有两个不相等的实数根； 点A 1, 1是抛物线y m 1 x 2 m 2 x 1上的点，求抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下，若点 B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点 B的直线, 若存在，请求岀直线的解析式；若不存在，请说明理由。 思考: 1、函数 1、函数y ax2 ax 3x 1的图象与x轴有且只有一个交点，求 a的值和交点坐标。 2 3 2 2、已知抛物线y x kx k ( k为常数，且k 0) 4 (1)证明：此抛物线与x轴总有两个交点;(2 (1)证明：此抛物线与 x轴总有两个交点; (2)设抛物线与 x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为 求k的值。 OM、ON，且 1 ON 1 OM 二次函数与直线、一元二次方程的关系习题练习 1、在二次函数y ax2 bx c中，若a与c异号，则其图象与 x轴的交点个数为。 2、 不论m为何实数，抛物线 y x2 mx m 2 ()。 A.在x轴上方B.与x轴只有一个交点 C.与x轴有两个交点 D.在x轴下方 3、 若抛物线y kx2 2x 1与x轴有两个交点，则 k的取值范围是。 4、 已知函数y kx2 7x 7的图象和x轴有交点，贝y k的取值范围是。 5、如果一个二次函数的图象经过点 A 6,10，与x轴交于B、C两点，点B、C的