数值计算方法复习题9.docx

习题九 取步长h = 0.1,分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题 V + y = 0^≤04 = ,0x 04 （1） Ib（D）J ； （ 2） Iy（O） - 1 TOC \o 1-5 \h \z 准确解：（1） 「二八 一 ；（2） J . I ； 欧拉法：I _ ,：」I ,广:-」-1 ■. ^ - - ■ 改进的欧拉法：「_I ,, * _ ■ 「， 「_ ； *「， * 用四阶标准龙格一库塔法解第 1题中的初值问题，比较各法解的 精度。片前皿4曲5 ,力“皿8730901 ,丹』M088421 , .07032D2S8 用欧拉法计算下列积分在点 -.■处的近似值。 0.5000,1.1420,2.5011,7.2450 4.求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。 （1） λ+i = λ÷^[3λ-Λ-i1 f, 2 （2） 7js÷i = ^÷?[23Λ-16Λ-1÷5Λ-1 1討他）,3； （3） Λ÷i = Λ-i + ^[Λ-i÷4Λ + Λ+J -”),4 （4） λ÷i = ^-3 + ^[2Λ-3^Λ-i+2Λ1 Wg 4 5用EUler法解初值问题…—⑴，「? 取步长h=0.1 ,计算到 x=0.3（保留到小数点后4位）. 解：直接将EUIerr法应用于本题，得到 yκ+ι = Λ + 为(W +100,) =Λ +0Jχ(xJ +10∣0IyJ) 由于直接代入计算，得到 (0.1) M yjt +0.05x[(^ +x1-4χ1)] + ?+1 + ?+ι-O11 +0,l?(? +x--λ))1 =yB +0 05x(1+2.? -1.9^ ^0Λl)rκ = 0χ2f3r4 6.用改进Euler法和梯形法解初值问题- ■ ■ - ■取步长 h=0.1计算到x=0.5,并与准确解L - ; 相比较. 解：用改进Euler法求解公式，得 儿+j =几 +0.05χ[(? +2TH —几)+ 忑?+1 +盂曲-CyM +o.i?X + 耳—儿))] =Iys +0.05x(15 盂:+2. Ixh - 1.9IyH +0.Π) 计算结果 见下表 用梯形法求解公式，得 ■ X T-:-二4 ■■ ■.I ÷ -?..ij -二八 解得■ ^ ■ ■■- ：： - [?… -1 ■ ■■ ! 精确解为一--“、；- + 0.1 CL 2 0.3 0.4 0.5 改逬ELIIerT法 0.00550 0.02193 0.05OIB 0. 09094 0.14500 梯形法 0. OO524 0,02141 OTO4937 0.08091 0,14373 精确解y仗」 0.00516 0.02127 Q.04918 0.08968 Q*14347 7证明中点公式（739）—一宀’=」J ：1是二阶 的，并求其局部截断误差主项. 证明根据局部截断误差定义，得 TE=X耳 + 山）-》（￡）+ 顷（XW + ÷7^i）  将右端Taylor展开，得 T”i = + y 7u+ γ7u?) + O(hj^)÷ h[f(xn,y(xπy) + (1?+ Δ/ + G胪〉］.h2a2f h2 ￡ h2 + G胪〉］ 4‰a 2 汰啓 4 + O(?4)1 13a + O(?4) 故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含 h3的项。 8用四阶R-K方法求解初值问题- 7； ■■ - ? -il- ■取步长 h=02 解直接用四阶R - K方法 其中…页儿 +0.1?a)3 其中… 页儿 +0.1?a) 3仇十0举）耗=十0 2島）1,2H■耳,4 1 2÷xs 计算结果如表所示: Xrl 0. 2 0.4 0.6 0.8 1,0 Yn 1. 72755 Z 74295 4.0Θ418 6.82921 7, 99601 9对于初值问题^： 解 因f（y）=-100 ,故由绝对稳定区间要求（1）用EUler法解时， 2 0^W0 = °-°2（2）用梯形法解时，绝对稳定区间为° Cg ,由因f 对y是线性的，故不用迭代，对h仍无限制。（3）用四阶R-K方法时, 0?≤ ^-^=0 02785 100 4 4 10. (1)用EuIer法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定？(2)若 用梯形法求解，对步长h有无限制？ (3)若用四阶R-K方法求解，步 长h如何选取？ 解：用四阶显式AdamS公式先要算出■- 1 ，而T 「，其余3点 可用四阶R-K方法计算。由-工，得 氐 1 = √Xq *AJ = 3耳一 Slt G = + 乡 +??1) = 2 - 1 8iχj, +0 15 心=十纟亠 + 各◎ = HA - 1 S2jtλ +O 135 口 = yg 十善宀 +善=王日知玉