2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练：(十九)解析几何Word版含解析.doc

专题强化训练 (十九 ) 解析几何 x2 y2 1．[2019 ·长沙一模 ]已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 1 3，左、右焦点分别为 F1，F2，A 为椭圆 C 上一点， AF1 与 y 轴相交 4 于 B，|AB|＝ |F2B|，|OB|＝3(O 为坐标原点 )． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过 A1，A2 分别作 x 轴的垂线 l 1，l2，椭圆 C 的一条切线 l：y＝kx＋m(k≠0)分别与 l1，l2 交于点 M，N，求证：∠ MF 1N＝∠ MF2N. 解： (1)如图，连接 AF2，由题意得 |AB|＝|F2B|＝|F1B|， 所以 BO 为△ F1AF2 的中位线，又 BO⊥F1F2， 所以 AF2⊥F1 2，且 |AF2 ＝ ＝b 2 8 ， ＝ F | 2|BO| a 3 c 1 2 2 2 2 2 又 e＝a＝3，a ＝b ＋ c ，所以 a ＝9，b ＝8， x2 y2 故所求椭圆 C 的方程为 9＋ 8＝1. (2)由(1)可得， F1(－1,0)，F2(1,0)，l 1 的方程为 x＝－ 3，l2 的方程 为 x＝3. x＝－ 3， 得 x＝－ 3， x＝ 3， 由 y＝－ 3k＋ m， 由 y＝kx＋ m y＝ kx＋m， x＝3， 所以 M(－3，－ 3k＋m)，N(3,3k＋m)， 得 y＝3k＋m， → → 所以 F 1M＝ (－2，－ 3k＋m)，F1N＝(4,3k＋m)， → → 22 所以 F · ＝－ 8＋m －9k . 1M F1N x2 y2 联立 9 ＋ 8＝1， 得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0. y＝kx＋m 因为直线 l 与椭圆 C 相切， 所以 ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0， 化简得 m2＝9k2＋8. → → 2 2 所以 F1M·F1N＝－ 8＋m －9k ＝0， →→ π 所以 F1M⊥ F1N，故∠ MF 1N＝2. →→ π 同理可得 F2M⊥F2N，∠ MF 2N＝2. 故∠ MF 1N＝∠ MF2N. 2．[2019 ·合肥质检二 ] 已知抛物线 C1：x2＝2py(p0)和圆 C2：(x 1)2＋y2＝2，倾斜角为 45°的直线 l1 过 C1 的焦点，且 l1 与 C2 相切． (1)求 p 的值； (2)动点 M 在 C1 的准线上，动点 A 在 C1 上，若 C1 在 A 点处的切 线 交 轴于点 ，设 → ＝ → ＋ → ，求证：点 在定直线上，并 l 2 y B MN MA MB N 求该定直线的方程． p 解： (1)依题意，设直线 l 1 的方程为 y＝x＋2， 因为直线 l1 与圆 C2 相切， p 所以圆心 C2(－1,0)到直线 l1：y＝x＋2的距离 p |－1＋2 d＝ 12＋ －1 2＝ 2. p |－1＋2 即 ＝ 2，解得 p＝6 或 p＝－ 2(舍去 )． 2 所以 p＝6. (2)解法一：依题意设 M(m，－ 3)， 2 由 (1)知抛物线 C1 的方程为 x2＝12y，所以 y＝12x， x 所以 y′＝6， 设 A(x1，y1)，则以 A 为切点的切线 l2 的斜率为 k＝x61， 1 所以切线 l2 的方程为 y＝6x1(x－x1)＋ y1. 令 x＝0，则 y＝－16x21＋y1＝－ 16×12y1＋y1＝－ y1，即 B 点的坐标为(0，－ y1)， → 所以 MA ＝(x1－m，y1＋3)， → MB ＝(－m，－ y1＋3)， → → → ＝(x1－2m,6)， 所以 MN＝MA＋MB → → → ＝(x1－m,3)． 所以 ON＝OM＋MN 设 N 点坐标为 (x， y)，则 y＝3， 所以点 N 在定直线 y＝3 上． 解法二：设 M(m，－ 3)， 由 (1)知抛物线 C1 的方程为 x2＝12y ①， 设 l 2 的斜率为 k，A x1， 1 2 x1 ，则以 A 为切点的切线 l 2 的方程为 12 1 2 y＝k(x－x1)＋12x1 ②， 2 1 2 联立①②得， x ＝12 k x－x1 ＋12x1 ， 因为 ＝144k2－48kx1＋4x21＝0，所以 k＝x61， 1 1 2 所以切线 l2 的方程为 y＝ x1(x－x1)＋ x1. 6 12 令 ＝ ，得 B 点坐标为 0，－ 1 x2 ， x 0 12 1 → －m， 1 2 ＋3 ， 所以 MA ＝ x1 x1 12 → 1 2 ， MB ＝ －m，－ x1＋3 12 → → → 所以 MN ＝MA＋MB＝(x1－2m,6)， → → → 所以 ON＝OM＋MN＝(x1－m,3)，