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最新高中数学奥数竞赛竞赛试卷 (高三年级组 )
( 时间: 8 月 30 日上午 8:30-11:30)
一、填空题
2 2 1
1、已知函数 f (x) ln ( 1 a x ax) 1 (a 0) ,则 f (ln a) f (ln ) ____________.
a
2 2 2
2、A ,B 两点分别在抛物线 y 6x 和 ⊙ C : (x 2) y 1 上,则 AB 的取值范围是
____________.
3、若 tan 3 tan β0 ,则 的最大值为 ____________.
2
4、已知 △ABC 等腰直角三角形,其中∠ C 为直角, AC =BC=1,过点 B 作平面 ABC 的垂线
DB ,使得 DB=1 ,在 DA 、 DC 上分别取点 E 、F ,则 △ BEF 周长的最小值为 ____________.
3 x
5、已知函数 f (x) x 3x ,对任意的 m 2,2 , f ( mx 8) f (2 ) 0 恒成立,则正.
实数 x 的取值范围为 ____________.
. .
*
6、已知向量 a,b,c 满足 |a |:|b |:|c | 2 : k : 3(k N ) ,且 b a 2(c b) ,若 为 a,c 的夹
角,则 cos 的值为 ____________.
7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器,则该容器棱长最小值为
____________.
8、将 10 个小球( 5 个黑球和 5 个白球)排场一行,从左边第一个小球开始向右数小球,无
论数几个小球,黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ____________.
二、解答题
9.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 △ABC 中 , 内 角 A ,B,C 对 边 的 边 长 分 别 是 a,b,c , 向 量
p sin A sin C ,sin B ,向量 q (a c ,b a) ,且满足 p q .
( Ⅰ)求 △ABC 的内角 C 的值;
( Ⅱ)若 c=2 ,2sin2A +sin(2 B+C)=sin C,求 △ABC 的面积 .
2
10. (本小题满分 14 分)已知数列 an 满足: a1 2,an 1 an 2an .
(1) 求证:数列 lg( an 1) 是等比数列,并求 an 的通项公式 ;
1 1
(2) 若 b ,且数列 b 的前 n 项和为 S ,求证: S 1.
n
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