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1. 3. 1 单调性与最大 (小 )值 (第一课 时 )
教学目标: 1.使学生理解增函数、减函数的概念;
2 .使学生掌握判断某些函数增减性的方法;
3 .培养学生利用数学概念进行判断推理的能力;
4 .培养学生数形结合、辩证思维的能力;
5 .养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯.
教学重点: 函数单调性的概念
教学难点: 函数单调性的判断和证明
教学方法: 讲授法
教学过程:
(I )复习回顾
1.函数有哪几个要素?
2 .函数的定义域怎样确定?怎样表示?
3 .函数的表示方法常见的有哪几种?各有什么优点?
4 .区间的表示方法.
前面我们学习了函数的概念、 表示方法以及区间的概念, 现在我们来研究一下函数的性
质(导入课题,板书课题) .
(II )讲授新课
2
1.引例: 观察 y=x 的图象,回答下列问题(投影
1)
问题 1:函数 y=x 2 的图象在 y 轴右侧的部分是上升
的,说明什么?
随着 x 的增加, y 值在增加.
问题 2: 怎样用数学语言表示呢?
1 2 1 1 2 2
设 x 、x ∈[0 ,+∞] ,得 y =f (x ) , y =f (x ) .当
x1x2 时, f (x 1) f (x 2 ) .
( 学生不一定一下子答得比较完整,教师应抓住时机予以启发 ) .
2
1
结论: 这时,说 y = x 在[0 ,+∞] 上是增函数. (同理分析 y 轴左侧部分)由此可有:
2.定义: (投影 2 )
一般地,设函数 f (x) 的定义域为 I :
如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x 1 x 2 时都有 f (x 1)
f (x 2) .那么就说 f (x) 在这个区间上是 增函数( increasing function ).
1 2 1 2
如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 、 x ,当 x x 时都有
f (x 1) f (x 2) .那么就是 f (x) 在这个区间上是 减函数 (decreasing function) .
如果函数 y=f (x) 在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f (x) 在这一区间具
有(严格的)单调性,这一区间叫做 y=f (x) 的单调区间,在单调区间上增函数的图象是
上升的,减函数的图象是下降的.
注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性;
1 2
(2 )注意区间上所取两点 x ,x 的任意性;
(3 )函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念.
(III )例题分析
例 1.如图是定义在闭区间 [-5 ,5] 上的函数 y f (x) 的图象, 根据图象说出 y f (x ) 的
单调区间,及在每一单调区间上, y f (x ) 是增函数还是减函数(课本 P32 例 1).
解:函数 y f (x) 的单调区间有 5, 2 , 2,1 , 1,3 , 3,5 ,
y
其中 y f (x ) 在区间 5,2 , y
1,3 上是减函数,在区间 2,1 , 3,5 上是
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