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§11.8周期为2l的周期函数的傅里叶级数
到现在为止,我们所讨论的周期函数都是以2x
为周期的.但是实际问题中所遇到的周期函数,它的
周期不一定是2z怎样把周期为2的周期函数f(x)展
开成三角级数呢?
ak plate %natcetuat of Chemdeal 7echinolo9s
今分析
音游书兰答跑
设函数f(x)以2为周期,则函数F()=(1)以2z为周期
这是因为
F(+27)=f(+2n)=f(t+21)=f(t)=F()
◆分析
音游书兰答跑
设函数f(x)以2为周期,则函数F()=f(0以2z为周期
当F(满足收敛定理的条件时,可展开成傅里叶级数
F(1)=2m=
(a, c on stb, s im)t,
其中an= F(costa b=
F(s im td t
令x=t,即t=,则有
f(0+∑(co+bsi)
4-(0,t=().、4Fd
今定理
Q音书艺
设周期为2的周期函数fx)满足收敛定理的条件,则它的
傅里叶级数展开式为
f(x)=“+∑(ancog+bnsi)
其中
/f(x)cosier
dx(n=0,1,2,…),
注:当(x)为奇函数时,an-O0(n=0,1,2,…),fx)的傅里叶级数
为正弦级数
当fx)为偶函数时,b=0(n=1,2,…),fx)的傅里叶级数为
正弦级数.
例1设(是以4为周期的函数,它在2,2南装送式鸡
f(x)=
j0-2≤x0
k0≤x2
常数k≠0
将fx)展开成傅里叶级数
解函数f(x)在点x=0,±2,±4,±6,…是间断的,在这些点
f(x)的傅里叶级数收敛于k
k
k
f(x)的图形
和函数的图
例1设几是以4为周期的函数,它在2,2表送荡热
f(x)=
j0-2≤x0
k0≤x2
常数k≠0
将fx)展开成傅里叶级数
解函数fx)在点x=0,±2,±4,±6,…是间断的,在这些点
f(x)的傅里叶级数收敛于k
2
因为f(x)的傅里叶系数为
2k
a0=k, a,=0, b, =nt
n=1,3,5,
0n=246
所以f(x)=k+2(sinx+1sin3+1sin5x+…)
2
(-∞x+∞;x≠O,±2,±4,…)
px
0x
例2将函数M(x)=
2展开成正弦级数
x≤l
2
解对函数M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数,其
傅里叶级数在[0,1上处处收敛于M(x)
因为函数M(x)的正弦级数的系数为
1/4
例2将函数M(x)
Dx0≤x2展开成正弦级数
p(-
x≤l
解对函数M(x)进行奇延拓后得到的是一个连续函数,其
傅里叶级数在[0,1上处处收敛于M(x)
因为函数M(x)的正弦级数的系数为
0m02334n1358
0
n=2,4,6,
所以Mx)的正弦级数展开式为
M(x)
2p/
P
(S1
sIn
、SS1
)(0≤x≤D
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