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解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题 韦达， 1540 年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利 用业余时间钻研数学。 韦达是第一个有意识地、 系统地使用字母的人， 他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用， 使人类的认识产生了飞跃。 人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为 “代数学之父 ”。 一 真题链接 1.（ 2010?娄底）阅读材料： 若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个实数根为 x1， x2，则两根与方程系数之间有如下关系： 根据上述材料填空： 已知 x1， x2 是方程 x2+4x+2=0 的两个实数根，则 ___________ 2 2 2.已知关于 x 的方程 x +2（ a-1） x+a -7a-b+12=0 有两个相等的实数根，且满足 2a-b=0． 3.设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1， x2，则两根与方程系数之间有如下关系： 根据该材料填空： 若关于 x 的一元二次方程 x2+kx+4k 2-3=0 的两个实数根分别是 x1，x2，且 满足 x1+x2=x1?x2 ．则 k 的值为 二 名词释义 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a、 b、 c 属于 R，a≠0）根的判别， △ =b2-4ac，不仅用来判 定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程 (组 )，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 文档 例 若 x1 , x2 是方程 x2 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值： (1) x12 x2 2 ； (2) 1 1 ； (3) ( x1 5)( x2 5) ；(4) | x1 x2 |． x1 x2 说明： 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 2 2 2 1 1 x1 x2 ， ( x1 2 2 x1 x2 ( x1 x2 ) 2x1 x2 ， x2 x1 x2 x2 ) (x1 x2 ) 4x1 x2 ， x1 | x x 2 | (x x )2 4x x ， x1 x2 2 x12 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ， 1 1 2 1 2 x13 x2 3 ( x1 x2 )3 3x1x2 ( x1 x2 ) 等等．韦达定理体现了整体思想． （ 2）构造新方程 理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。 例 解方程组 x+y=5 Xy=6 （3）定性判断字母系数的取值范围 例 一个三角形的两边长是方程 的两根，第三边长为 2，求 k 的取值范围。 文档 三 典题示例 例 1 已知关于 x 的方程 x2 (k 1)x 1 k 2 1 0 ，根据下列条件，分别求出 k 的值． 4 (1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 x1 , x2 满足 | x1 | x2 ． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件， 求待定字母的值， 务必要注意方程有两实 根的条件，即所求的字母应满足 0 ． 例 2 已知 x1, x2 是一元二次方程 4kx2 4kx k 1 0 的两个实数根． (1) 是否存在实数 k ，使 (2 x1 x2 )( x1 2x2 ) 3 成立？若存在， 求出 k 的值； 若不存在， 2 请您说明理由． (2) x1 x2 2 的值为整数的实数 k 的整数值． 求使 x1 x2 说明： (1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对 4 为整数的分析方法． k 1 文档 四 巩固强化 1. 巳知 a、b 是一元二次方程 x2－2x－ 1=0 的两个实数根，则代数式（ a－ b）（ a+b－ 2） +ab 的值等于 ____． 2. 已知关于 x 的方程 x2+mx ﹣ 6=0 的一个根为 2，则 m= ，另一个根是 ． 3. 若 x1， x2 是方程 x2 +x﹣ 1=0 的两个根，则 x12+x2 2= ． 4.已知一元二次方程 y2﹣ 3y+1=0 的两个实数根分别为 y1、 y2，则（ y1﹣ 1）（ y2 ﹣ 1）的值 为 ． 5. 已知关于 x 的方程 x2+（ 2k+1 ）x+k 2－ 2=0 的两实根的平方和等于 11，则 k 的值为 ． 6. 若 x1、 x2 是方程 x2 ﹣2x﹣ 5=0 的两根，则 x12+x1x2+x2 2= ． 2 —4x＋ k—