2019中考数学压轴题专项汇编专题1一元二次方程的特殊根.docx

a≠0 时，将方程的系数整数化，求出判别式； 2019-2020 年中考数学压轴题专项汇编专题 1 一元二次方程的特殊根 破解策略 1．一元二次方程的有理根 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠0， a， b， c 为有理数）存在有理根的条件为： b2－ 4ac 是一个有理数的平方． 2 解决一元二次方程 ax ＋ bx＋ c＝ 0（a≠0， a，b， c 为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有： ①讨论二次项系数的情况，当 a≠0 时，求出判别式； ②根据已知条件得待定系数的取值范围， 再求出判别式的取值范围， 筛选出其中为有理数的平方的数；③求出待定系数的可能取值，并检验． （ 2）利用“判 别式是一个有理数的平方”解题 ①讨论二次项系数的情况，当 2 2 2 ②将判别式写成 △＝ M－t 的形式（ M为关于待定系数的整式， t 为整数），设 M－ t ＝ m（ m为非负有 理数） ③可得（ Ｍ ＋ ）（ Ｍ － ｍ ）＝ t ，解此不定方程； m ④求出待定系数的可能取值，并检验． ２．一元二次方程的整数根 对于一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0（a≠0， a，b， c 为有理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件． 解决方程 ax2＋ bx＋ c＝0 的整数根问题，除了利 用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的 平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题． （ 1）利用“根与系数的关系”解题 ①讨论二次项系数的情况，当 a≠0 时，利用根与系数的关系求出两根的和与积； ②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量） ； ③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数， 从而求出待定系数 的可能取值； 2）利用“因式分解”解题①讨论二次项系数的情况，当 ②求出方程的两根， x1＝  a≠0 时，将方程化为（ m1x＋ n1）（ m2x＋ n2）＝ 0 的形式； n1 和 x2＝ n2 ； m1 m2 ③利用分离常量的方法，将 n1 ， n2 变成一个常数与一个分式的和； m1 m2 ④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； ⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并 确定结果． 需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数． 3．分离常量 在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量 就是从分式中化出一个常数，例如 ： ① m 2 m 1 3 m 1 3 1 3 ； m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 ② m 2 m 1 1 ( m 1) 1 1 ； m 1 m 1 m 1 m 1 1 1 m ③ 2m 3 2m 2 1 2( m 1) 1 1 2 1 1 ； m 1 m 1 m 1 m m ④ 3m 1 3m 3 2 3( m 1) 2 3 2 ． m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 例题讲解： 例 1 已知整数 m满足 6＜m＜20，如果关于 x 的一元二次方程 2 有有理根， mx—（ 2m－1） x＋m－2＝ 0 求 m的值及方程的根． 解： 若原方程的根为有理数， 则△＝（ 2m－1） ２ —4m（ m－2）＝ 4m＋ 1 应为某个有理数的平方． 已知 6＜m＜20，所以 25＜4m＋ 1＜81， 而 4m＋ 1 是奇数，从而 4m＋ 1＝ 49，得 m＝12， 所以原方程变为 12x2— 23x＋ 10＝ 0， 解得 x1＝ 2 ， x2 ＝ 5 ． 3 4 故 m＝12 时，方程有有理根，此时方程的根为 x ＝ 2 ， x ＝ 5 ． 1 3 2 4 2 例 2 设 是不为零的整数，关于 x 的一元二次方程 （ m－ 1） ＋ 1＝ 0 有有理根，求 的值． m mx－ x m 解 若原方程的根为有理数， ２ ２ 则△＝（ m－1） —4m＝（ m－3） — 8 应为某个有理数的平方． 所以（ m－3＋ n）（ m－3－n）＝ 8． 由于 m－3＋ n＞m－3－n，并且（ m－3＋ n）＋（ m－3－n）＝ 2（ m－ 3）是偶数 ，所以 m－3＋ n 和 m－3－n 同奇偶， 所以 m - 3 n 4 m 3 n2 m1 6 m2 0 或 ；解得 ， （舍）． m - 3 n 2 m 3 n 4 n1 1 n2 1 所以当 m＝ 6 时，方程有两个有理根，分别为 x1＝ 1 ， x2＝ 1 ． 2 3 例 3 关于 x 的一元二次方程 rx 2＋（ r ＋ 2