第3讲函数与方程及函数的应用(教师).doc

专题 1　函数与导数、不等式 第3讲 函数与方程及函数的应用 一．瞄准高考 1.函数的零点 (1)三个等价关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (2)函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)0,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根． (尤其注意,f(a)f(b)0是“函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点”的充分不必要条件) 2.函数模型及其应用 解决实际应用题,一般先考虑建立函数解析式,将其函数化,然后运用函数的知识解决问题.具体策略是: (1)审:审即审题,首先通过阅读能准确理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步预测所属数学模型,这一步是基础. (2)建:建即建立数学模型,也就是将文字语言转化为数学语言,利用已有的数学知识,建立相应的数学模型.正确进行建“模”是解应用题的关键的一步. (3)解:解即求解数学模型,得到数学结论.解题时,一要充分注意数学模型中元素的实际意义,二要注意优化过程. (4)答:答即将数学结论还原为实际问题的结果. 二．解析高考 题型一　函数零点的判定 例1 已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)证明：f(x)在其定义域上是增函数； (2)证明：f(x)有且只有一个零点； (3)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过eq \f(1,4). 【思维启迪】(1)利用导数法证明函数的单调性．(2)利用函数在某一区间内存在零点的条件证明其存在性,利用函数的单调性说明其唯一性．(3)运用“二分法”求其区间． 【解答】(1)证明　函数的定义域为(0,＋∞)． ∵f′(x)＝eq \f(1,x)＋20,∴f(x)在(0,＋∞)上是增函数． (2) 证明　∵f(2)＝ln 2－20,f(3)＝ln 30,∴f(2)·f(3)0. ∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点． 由(1)知f(x)在(0,＋∞)上至多有一个零点．从而f(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点． (3)解　由f(2)0,f(3)0.∴f(x)的零点x0∈(2,3)． 取x1＝eq \f(5,2),∵f(eq \f(5,2))＝lneq \f(5,2)－1＝lneq \f(5,2)－ln e0,∴f(eq \f(5,2))·f(3)0,∴x0∈(eq \f(5,2),3)． 取x2＝eq \f(11,4).∵f(eq \f(11,4))＝lneq \f(11,4)－eq \f(1,2)＝lneq \f(11,4)－0,∴f(eq \f(11,4))·f(eq \f(5,2))0. ∴x0∈(eq \f(5,2),eq \f(11,4))．而|eq \f(11,4)－eq \f(5,2)|＝eq \f(1,4)≤eq \f(1,4), ∴(eq \f(5,2),eq \f(11,4))即为符合条件的区间． 【探究提高】 (1)f(x)在[a,b]上连续,f(a)·f(b)0是f(x)在(a,b)上存在零点的充分条件．存在并不能说明唯一．所以本题第(2)问还应注意,证明零点的唯一性． (2)应用二分法确定零点所在区间长度不超过q,可有如下思考过程：①f(a)·f(b)0,区间使|a－b|≤q,则零点x0∈(a,b),区间(a,b)为所求．②若f(a)·f(b)0,区间使|a－b|q,则取中点eq \f(a＋b,2)＝x0,进一步检验f(a)·f(x0)0(或f(x0)·f(b)0)及|a－x0|与q的关系(或|b－x0|与q的关系),直至符合要求为止． 【变式】若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3,则a＝________. 【解析】y＝|x2－4x|的图象如图∵函数y＝|x2－4x|的图象与函数y＝4的图象恰有3个公共点,∴a＝4. 题型二　函数与方程的综合应用 例2 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象的零点至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围. 【解答】 (1)当m＝0时,f(x)＝－3x＋1,直线与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0)),即函数的零点为eq \f(1,3),在原点右侧,符合题意. (2)当m≠0时,因为f(0)＝1,所以抛物线过点(0,1),若m0,f(x)的开口向下,如图(1)所示. 二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧. 若m0,f(x)的开口向上,如图(2)所示,要使函数的零点在原点右侧,当且仅当eq \b\lc\