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黄金 分割及 平行线 分线段 成比例
一、黄金分割
黄金分割
AC BC
如图,点C把线段AB分成两条线段 AC和BC,如果AB AC ,那么称线段AB被点C黄金 分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.AC与AB的比叫做黄金比.
黄金比
黄金比值的求法:
AC因为ABBCAC,且 BC= AB— AC 所以AC AB ACAB AC解得AC=
AC
因为AB
BC
AC,且 BC= AB— AC 所以
AC AB AC
AB AC
解得AC=
4ab
2 ,或 AO 0.618AB,
AC
一 5 1
2 或 0.618
即得黄金比AB
求作黄金分割点
求已知线段AB的黄金分割点。 方法一:如图
1、经过点B作BD丄AB且BD=2 =DB.
C是线段AB的黄金分割点.
DA上截取DE
3、在AB上截取AC= AE,所以点
、5 ..5
、5 ..5 1 3 .5
理由:设 AB= 1,贝U BD= 1/2,AD = 2 , AC= 2 , BC= 2
AC BC 1
所以AB AC 2 ,所以点C是线段AB的黄金分割点. 方法二:如图
1、在线段AB上作正方形 ADCB2取AD的中点E,连接EB.
3、延长DA至 F,使EF= EB. 4、以线段 AF为边作正方形 AFGH 所以点H是线段AB的黄金分割点.
BE^EF理由:设AB=
BE
^EF
理由:设AB= 1,则AE= 2,所以
、5 1 3 、、5
2 = AH, BH= 2
AH HB 、5 1
所以AB AH
所以AB AH
2 ,所以点H是线段AB的黄金分割点.
方法三:如图
1以AB为腰作等腰△ ABD使/ A= 36
2、作/ ADB的角平分线交 AB于点C 所以,点C是线段AB的黄金分割点.
理由:作图的理由在本章学完就知道, 对这一基本图形我们将会非常熟悉, 此等腰三角形叫
做黄金三角形
AB .5 1
例1:如图所示,矩形
CDEF得到一个小矩形
ABCD是黄金矩形(即 BC = 2 ?0.618 ),如果在其内作正方形
ABFE试问矩形ABFE是否也是黄金矩形?
例2:以长为2的线段AB为边作正方形 ABCD取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上 取点F,使PF= PD,以AF为边作正方形 AMEF点M在AD上,如图所示,
(1 )求AM DM的长,
试说明 aM=ad? DM
根据(2)的结论,你能找出图中的黄金分割点吗?
练习题
一、 请你填一填
如图,若点P是AB的黄金分割点,则线段 AP、PB AB满足
A P
关系式 ,即AP是 与 的比例中项.
黄金矩形的宽与长的比大约为 (精确到0.001 ).
如果线段d是线段a、b、c的第四比例项,其中 a=2 cm, b=4 cm, c=5 cm,贝U
d= cm.
已知O点是正方形 ABCD勺两条对角线的交点,则 AO: AB: AO .
二、 认真选一选
1、 有以下命题:①如果线段d是线段a, b,c的第四比例项,则有 --
b d
如果点C是线段AB的中点,那么 AC是 AB BC的比例中项
如果点C是线段AB的黄金分割点,且 AOBC那么AC是 AB与BC的比例中项
如果点C是线段AB的黄金分割点,AOBC且AB=2,则AC=T5 — 1 其中正确的判断有()
A.1个 B.2个C.3个 D.4个
2、 已知P为线段AB的黄金分割点,且 APV PB,则()
A、AP2 AB PB; B AB2 AP PB; C PB2 AP AB; D、AP2 BP2 AB2
3、 .已知点M将线段AB黄金分割(AM >BM),则下列各式中不正确的是 ()
A.AM : BM=AB : AMB.AM =ABC.BM=-52-ABD.AM ?0.618ABA.1个 B.2个C.3个 D.4个4、已知P、Q是线段AB
A.AM : BM=AB : AMB.AM =
ABC.BM=-5
2
-ABD.AM ?0.618AB
A.1个 B.2个C.3个 D.4个
4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点,且 AB= 10cm,贝U PQ长为()
A、5( .5 1)B、5(、一 5 1)C、10( . 5—2) D、5(3 .5)
三、好好想一想
1、已知点C是线段AB的黄金分割点 AC= 5 5 5,且AC> BC,求线段AB与BC的长。
2、E、F为线段AB的黄金分割点,已知 AB= 10 cm,求EF的长度.
AD C A
3、如果一个矩形 ABCD (AB v BC)中, 沁0.618,那么这个矩
BC 2
形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感 .在黄金矩形ABCD内作正方形
CDEF,得到一个小矩形 ABFE(如图1),请问矩形ABFE是否是黄金矩形? 请说明你的结论的正确性.
、
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