6几何证明与综合应用.doc

PAGE PAGE 1 §6.几何证明与综合应用 ☆ ☆海南中考典例精析☆ 例1．【06海南中考】如图1，四边形ABCD是正方形，G是 BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E， CF∥AE交DG于F. （1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明； （2）求证：AE=FC+EF. 解：(1) ΔAED≌ΔDFC. ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AD=DC，∠ADC=90o. 又∵ AE⊥DG，CF∥AE， ∴ ∠AED=∠DFC=90o, ∴ ∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90o， ∴ ∠EAD=∠FDC. ∴ ΔAED≌ΔDFC （AAS）. (2) ∵ ΔAED≌ΔDFC， ∴ AE=DF，ED=FC. ∵ DF=DE+EF， ∴ AE=FC+EF. 例2．【07海南中考】如图2，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点. （1）求证：≌； （2）过点作，交于点，求证：； 图2（3）设，，试问是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 图2 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴DA=DC，∠1=∠2=45，DE=DE ∴≌ （2）∵≌ ∴∠3=∠4 ∵CH⊥CE，∴∠4+∠5=90 又∵∠6+∠5=90，∴∠4=∠6=∠3 ∵AD∥BG，∴∠G=∠3 ∴∠G=∠6 ∴CH=GH 又∵∠G+∠5=∠G+∠7=90 ∴∠5=∠7， ∴CH=FH ∴FH=GH （3）解：存在符合条件的x值 此时 ∵∠ECG90，要使△ECG为等腰三角形，必须 CE=CG，∴∠G =∠8 又∵∠G =∠4，∴∠8 =∠4 ∴∠9 = 2∠4 = 2∠3 ∴∠9 +∠3 = 2∠3+∠3 = ∴∠3 = ∴ ABCPDE图3例3．【08海南中考】如图3，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线 A B C P D E 图3 （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设AP=x, △PBE的面积为y. ① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. （1）证法一： ① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC，∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ，∴ PE=PD. ② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， ∵ PB=PE，∴ ∠PBE=∠PEB， ∴ ∠PEB=∠PDC，∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴ PE⊥PD. ABCDPE12H（ii）当点E与点C重合时，点 A B C D P E 1 2 H （iii）当点E在BC的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴ ∠DPE=∠DCE=90°， ∴ PE⊥PD. 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. ………（7分） （2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE. ∵ AP=x，AC=， ABCPDEF∴ PC=- x，PF A B C P D E F BF=FE=1-FC=1-()=. ∴ S△PBE=BF·PF=(). 即 (0＜x＜). ② .） ∵ ＜0， ∴ 当时，y最大值. 例4．【09海南中考】如图4-1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F. （1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形； （2）如图4-2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值. 图4-1 图4-1 A B C D E F 30° 图4-2 A B C D K H 30° 证明：（1）① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, ∴ ∠ABC=60°. 在等边△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC=60° . ∵ E为AB的中点，∴ AE=BE. 又∵ ∠AEF=∠BEC ,∴ △AEF≌△BEC . ② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点 ∴ CE=AB,BE=AB， ∴ ∠BCE=∠EBC=60° . 又∵ △AEF≌△BEC, ∴ ∠AFE=∠BCE=60° . 又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠