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圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点 F ， F 距离的和等于常数 2a F1 F2 的点的轨迹叫做椭 1 2 圆，即点集 M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a＞ |F 1F2|=2c} ； 这里两个定点 F1 ，F2 叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。 （ 2a F1 F2 时为线段 F1 F2 ， 2a F1 F2 无轨迹）。 2．标准方程： c2 a2 b2 ①焦点在 x 轴上： x2 y 2 1（ a＞ b＞ 0）； 焦点 F（± c，0） a 2 b 2 ②焦点在 y 轴上： y 2 x 2 1（a＞b＞0）； 焦点 F（0, ±c） a 2 b 2 注意：①在两种标准方程中，总有 a＞ b＞ 0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： x2 y2 2 2 m 1 或者 mx +ny =1 n 二．椭圆的简单几何性质： 1. 范围 （ 1）椭圆 x 2 y 2 1（ a＞ b＞ 0） 横坐标 -a ≤ x≤ a , 纵坐标 -b ≤x≤b a 2 b 2 （ 2）椭圆 y2 x 2 1（a＞b＞ 0） 横坐标 -b ≤x≤b, 纵坐标 -a ≤ x≤ a a2 b2 2. 对称性 椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 顶点 （1）椭圆的顶点： A1（ -a ，0）， A2（a，0）， B1 （0，-b ），B2（0，b） （2）线段 A1A2， B1 B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a，短轴长等于 2b，a 和 b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4 ．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ，即 c 称为椭圆的离心率， 2aa 记作 e（ 0 e 1）， e2 c2 1 ( b )2 a2 a 0 是圆； e 越接近于 0 （e 越小），椭圆就越接近于圆 ; e 越接近于 1 （e 越大），椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 （2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数 e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（ | PF | e ） d ①焦点在 x 轴上： x 2 y2 1（a＞b＞0）准线方程： x a 2 b2 ②焦点在 y 轴上： y 2 x 2 1（a＞b＞0）准线方程： y a2 b2 小结一：基本元素 （1）基本量： a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部 （1）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的内部 x02 y02 a2 b2 a2 b2 2 2 2 y 2 x0 y0 （2）点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 x 1(a b 0) 的外部 a2 b2 a2 b2 6. 几何性质  a2 c a 2 c 1 . . （1） 最大角 F1PF2 max F1B2F2 , （ 2）最大距离，最小距离 例题讲解： 一. 椭圆定义： １．方程 x 2 2 y2 x 2 2 y 2 10化简的结果是 2．若 ABC 的两个顶点 A 4,0 ,B 4,0 ， ABC 的周长为 18，则顶点 C 的轨迹方程是 3. 已知椭圆 =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3, 则 P 到另一焦点距离为 二．利用标准方程确定参数 1. 若方程 x2 + y2 =1（1）表示圆，则实数 k 的取值是 . 5 k k 3 （2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 . （3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数 k 的取值范围是 . 2. 椭 圆 4x2 25 y2 100 的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标 是 , 焦点的坐标是 , 焦距是 ，离 心率等于 , 3．椭圆 x2 y2 1的焦距为 2 ，则 m = 。 4 m 4．椭圆 5x2 ky 2 5的一个焦点是 (0,2) ，那么 k 。 三．待定系数法求椭圆标准方程 1．若椭圆经过点 ( 4,0) ， (0, 3) ，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且 a2 13 ， c2 12 的椭圆的标准方程为 3．焦点在 x 轴上， a : b 2 :1， c 6 椭圆的标准方程为 已知三点 P（5，2）、 F1 （－ 6， 0）、 F2 （6，0），求以 F1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； 变式：求与椭